Quiz — Exercices de haut niveau sur le raisonnement par récurrence (II).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":50155,"question":"Quelle est la première étape à vérifier dans un raisonnement par récurrence ?","option_a":"L'hérédité","option_b":"L'initialisation","option_c":"La conclusion","option_d":"La réciproque","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'initialisation consiste à vérifier que la propriété est vraie pour le premier rang (souvent n=0 ou n=1). Sans cette étape, la récurrence n'est pas valide.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"L'hérédité\", \"b\": \"L'initialisation\", \"c\": \"La conclusion\", \"d","_debug_options_count":4},{"id":50156,"question":"Si la propriété P(n) est vraie pour n=5, et que l'on démontre que P(n) ⇒ P(n+1), alors P(n) est vraie pour :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est vrai ! Par le principe de récurrence, si P(5) est vraie et que P(n) ⇒ P(n+1), alors P(n) est vraie pour tout n ≥ 5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":50157,"question":"Parmi ces affirmations, laquelle est correcte pour une démonstration par récurrence ?","option_a":"On suppose que P(n) est vraie pour tout n sans vérification","option_b":"On vérifie P(0) puis on montre P(n) ⇒ P(n+1)","option_c":"On montre directement P(n) pour tout n sans étape intermédiaire","option_d":"On utilise la récurrence uniquement pour les suites arithmétiques","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La bonne démarche est de vérifier la base (P(0)) puis de démontrer l'hérédité (P(n) ⇒ P(n+1)).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"On suppose que P(n) est vraie pour tout n sans vérification\", \"b","_debug_options_count":4},{"id":50158,"question":"Soit une suite définie par u₀=2 et uₙ₊₁=2uₙ+1. Si l'on veut démontrer par récurrence que uₙ=2^(n+1)-1 pour tout n, quelle hypothèse doit-on faire à l'étape d'hérédité ?","option_a":"uₙ=2^(n)-1","option_b":"uₙ=2^(n+1)-1","option_c":"uₙ₊₁=2^(n+1)-1","option_d":"uₙ=2^(n+2)-1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"À l'étape d'hérédité, on suppose que la propriété est vraie pour un rang n, soit uₙ=2^(n+1)-1, puis on montre qu'elle reste vraie pour n+1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"uₙ=2^(n)-1\", \"b\": \"uₙ=2^(n+1)-1\", \"c\": \"uₙ₊₁=2^(n+1)-1\"","_debug_options_count":4},{"id":50159,"question":"Le raisonnement par récurrence peut s'appliquer aux nombres réels.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. La récurrence s'applique aux ensembles dénombrables comme les entiers naturels. Pour les réels, on utilise d'autres méthodes (continuité, dérivabilité, etc.).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":50160,"question":"Quelle est la formule correcte pour démontrer par récurrence que 2ⁿ \u003E n² pour n ≥ 5 ?","option_a":"Vérifier 2⁰ \u003E 0² puis montrer 2ⁿ \u003E n² ⇒ 2ⁿ⁺¹ \u003E (n+1)²","option_b":"Vérifier 2⁵ \u003E 5² puis montrer 2ⁿ \u003E n² ⇒ 2ⁿ⁺¹ \u003E (n+1)²","option_c":"Vérifier 2¹ \u003E 1² puis montrer 2ⁿ \u003E n² ⇒ 2ⁿ⁺¹ \u003E (n+1)²","option_d":"Vérifier 2⁴ \u003E 4² puis montrer 2ⁿ \u003E n² ⇒ 2ⁿ⁺¹ \u003E (n+1)²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Il faut vérifier la base pour n=5 (car l'inégalité est vraie à partir de n=5) puis démontrer l'hérédité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vérifier 2⁰ \u003E 0² puis montrer 2ⁿ \u003E n² ⇒ 2ⁿ⁺¹ \u003E (n+1","_debug_options_count":4},{"id":50161,"question":"Un élève affirme : 'Si P(0) est vraie et P(n) ⇒ P(n+1), alors P(n) est vraie pour tout n entier naturel.' Cette affirmation est :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai ! C'est exactement le principe du raisonnement par récurrence. Si la base est vérifiée et l'hérédité démontrée, alors la propriété est vraie pour tous les entiers naturels.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":50162,"question":"Pour une suite définie par vₙ = vₙ₋₁ + 3 avec v₀=1, quelle propriété peut-on démontrer par récurrence ?","option_a":"vₙ = 3n + 1","option_b":"vₙ = n² + 1","option_c":"vₙ = 2ⁿ + 1","option_d":"vₙ = n³ + 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La suite est arithmétique de raison 3 et de premier terme 1, donc vₙ = 1 + 3n = 3n + 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"vₙ = 3n + 1\", \"b\": \"vₙ = n² + 1\", \"c\": \"vₙ = 2ⁿ + 1\", \"d","_debug_options_count":4},{"id":50163,"question":"Dans une démonstration par récurrence, si l'hérédité n'est pas vérifiée, que peut-on conclure ?","option_a":"La propriété est vraie pour tout n","option_b":"La propriété est fausse pour tout n","option_c":"La propriété n'est pas nécessairement vraie pour tout n","option_d":"La propriété est vraie uniquement pour n=0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Si l'hérédité échoue, la propriété n'est pas démontrée pour tout n. Elle peut être vraie pour certains n, mais pas pour tous.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"La propriété est vraie pour tout n\", \"b\": \"La propriété est f","_debug_options_count":4},{"id":50164,"question":"Soit la propriété P(n) : 'n² + n + 41 est premier'. Peut-on la démontrer par récurrence ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Cette propriété est vraie pour n=0 à n=39, mais fausse pour n=40 (40²+40+41=1681=41²). La récurrence ne peut pas s'appliquer ici car l'hérédité échoue.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]