Quiz — EXERCICE N°4 SOLUTION3 - ETUDE DE L’INTEGRABILITE DE LA FONCTION INVERSE POUR LA MESURE DE LEBESGUE λ.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":7225,"question":"Pour quelle mesure la fonction f(x) = 1\/x est-elle localement intégrable sur ℝ+ ?","option_a":"Mesure de Dirac","option_b":"Mesure de Lebesgue","option_c":"Mesure de comptage","option_d":"Mesure discrète","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction 1\/x est localement intégrable pour la mesure de Lebesgue car son intégrale sur tout intervalle [a,b] ⊂ ℝ+ (a \u003E 0) est finie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Mesure de Dirac\", \"b\": \"Mesure de Lebesgue\", \"c\": \"Mesure de comp","_debug_options_count":4},{"id":7226,"question":"L'intégrale ∫₀¹ (1\/x) dx converge-t-elle au sens de Lebesgue ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. L'intégrale impropre ∫₀¹ (1\/x) dx diverge car la fonction n'est pas intégrable sur [0,1] (singularité en 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":7227,"question":"Quel théorème permet de justifier l'échange limite-intégrale pour une suite de fonctions convergeant simplement vers 1\/x ?","option_a":"Théorème de Fubini","option_b":"Théorème de convergence dominée","option_c":"Théorème de convergence monotone","option_d":"Lemme de Fatou","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le théorème de convergence dominée (Lebesgue) permet cet échange sous réserve d'une domination par une fonction intégrable.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Théorème de Fubini\", \"b\": \"Théorème de convergence dominée\",","_debug_options_count":4},{"id":7228,"question":"La fonction f(x) = 1\/x est-elle intégrable sur [1, +∞[ pour la mesure de Lebesgue ?","option_a":"Oui, car l'intégrale converge","option_b":"Non, car l'intégrale diverge","option_c":"Oui, mais seulement si on restreint à un compact","option_d":"Non, car la fonction n'est pas bornée","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Oui, car l'intégrale impropre ∫₁^∞ (1\/x) dx diverge (elle vaut +∞). La fonction n'est donc pas intégrable sur [1, +∞[.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car l'intégrale converge\", \"b\": \"Non, car l'intégrale dive","_debug_options_count":4},{"id":7229,"question":"Le lemme de Fatou s'applique-t-il à une suite de fonctions positives convergeant simplement vers 1\/x ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Le lemme de Fatou s'applique à toute suite de fonctions mesurables positives, même si l'intégrale de la limite n'est pas finie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":7230,"question":"Quelle condition est nécessaire pour que la fonction 1\/x soit intégrable sur un intervalle [a,b] ⊂ ℝ+ ?","option_a":"a = 0","option_b":"b = +∞","option_c":"a \u003E 0","option_d":"a \u003C 0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La condition nécessaire est a \u003E 0, car la singularité en 0 rend la fonction non intégrable sur un intervalle contenant 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"a = 0\", \"b\": \"b = +∞\", \"c\": \"a \u003E 0\", \"d\": \"a \u003C 0\"}}","_debug_options_count":4},{"id":7231,"question":"Si une suite (fₙ) converge simplement vers 1\/x et est dominée par une fonction intégrable g, que peut-on dire de limₙ→∞ ∫ fₙ dλ ?","option_a":"Elle diverge toujours","option_b":"Elle est égale à ∫ (1\/x) dλ si cette intégrale existe","option_c":"Elle est toujours finie","option_d":"Elle ne dépend pas de la suite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"D'après le théorème de convergence dominée, limₙ→∞ ∫ fₙ dλ = ∫ (1\/x) dλ, à condition que cette dernière intégrale existe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Elle diverge toujours\", \"b\": \"Elle est égale à ∫ (1\/x) dλ si","_debug_options_count":4},{"id":7232,"question":"La mesure de Lebesgue λ est-elle une mesure finie sur ℝ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. La mesure de Lebesgue de ℝ est infinie (λ(ℝ) = +∞).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":7233,"question":"Quel espace fonctionnel contient la fonction 1\/x sur [1, +∞[ ?","option_a":"L¹(ℝ)","option_b":"L¹([1, +∞[)","option_c":"L²([1, +∞[)","option_d":"L^∞([1, +∞[)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La fonction 1\/x appartient à L²([1, +∞[) car ∫₁^∞ (1\/x)² dx converge (elle vaut 1), mais pas à L¹([1, +∞[).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"L¹(ℝ)\", \"b\": \"L¹([1, +∞[)\", \"c\": \"L²([1, +∞[)\", \"d\": \"L^","_debug_options_count":4},{"id":7234,"question":"Peut-on appliquer le théorème de convergence monotone à une suite croissante de fonctions convergeant vers 1\/x ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Le théorème de convergence monotone s'applique aux suites croissantes de fonctions positives, mais 1\/x n'est pas une limite croissante de fonctions intégrables sur ℝ+.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]