Quiz — examen final analyse 2 smpc s2 fsr + corrigé 2015-2016 By ExoSup.com.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":17149,"question":"Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une série numérique à termes positifs converge ?","option_a":"La série des termes est bornée","option_b":"La série vérifie le critère de Cauchy","option_c":"Le terme général tend vers 0","option_d":"La série est absolument convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le critère de Cauchy est une condition nécessaire et suffisante pour la convergence d'une série numérique (théorème fondamental).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"La série des termes est bornée\", \"b\": \"La série vérifie le cr","_debug_options_count":4},{"id":17150,"question":"Soit f une fonction continue sur [a,b]. La valeur moyenne de f sur [a,b] est donnée par :","option_a":"(f(b)-f(a))\/(b-a)","option_b":"(1\/(b-a))∫[a à b] f(x)dx","option_c":"∫[a à b] f(x)dx","option_d":"f((a+b)\/2)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle est définie comme l'intégrale divisée par la longueur de l'intervalle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"(f(b)-f(a))\/(b-a)\", \"b\": \"(1\/(b-a))∫[a à b] f(x)dx\", \"c\": \"∫","_debug_options_count":4},{"id":17151,"question":"Vrai ou Faux ? Toute série absolument convergente est convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est un théorème fondamental : si une série est absolument convergente, alors elle est convergente (mais la réciproque est fausse).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":17152,"question":"Quel est le rayon de convergence de la série entière Σ (x^n)\/n² ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"∞","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Le rayon de convergence est infini car lim (n→∞) |a_{n+1}\/a_n| = 1, et la série converge pour tout x réel (critère de d'Alembert).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"1\", \"c\": \"∞\", \"d\": \"2\"}}","_debug_options_count":4},{"id":17153,"question":"Vrai ou Faux ? Si une suite (u_n) converge, alors toute sous-suite de (u_n) converge vers la même limite.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est une propriété fondamentale des suites convergentes : toute sous-suite d'une suite convergente converge vers la même limite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":17154,"question":"Quelle formule permet de calculer l'aire d'une surface plane délimitée par une courbe paramétrée ?","option_a":"∫ y dx","option_b":"∫ √(1 + (dy\/dx)²) dx","option_c":"∫ x dy","option_d":"∫ (x dy - y dx)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'aire est donnée par l'intégrale ∫ √(1 + (dy\/dx)²) dx pour une courbe y = f(x), ou ∫ x dy pour une courbe paramétrée x = x(t), y = y(t).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"∫ y dx\", \"b\": \"∫ √(1 + (dy\/dx)²) dx\", \"c\": \"∫ x dy\", \"d\"","_debug_options_count":4},{"id":17155,"question":"Vrai ou Faux ? La série de Riemann ζ(s) = Σ 1\/n^s converge pour tout s \u003E 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La série de Riemann converge seulement pour s \u003E 1 (critère de Riemann). Pour 0 \u003C s ≤ 1, elle diverge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":17156,"question":"Soit f(x) = e^(-x²). Quel est le développement en série entière de f autour de 0 ?","option_a":"Σ (-1)^n x^(2n)\/n!","option_b":"Σ x^(2n)\/n!","option_c":"Σ (-1)^n x^n\/n!","option_d":"Σ x^n\/n!","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le développement en série entière de e^(-x²) est Σ (-1)^n x^(2n)\/n! (en utilisant la série de e^u avec u = -x²).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Σ (-1)^n x^(2n)\/n!\", \"b\": \"Σ x^(2n)\/n!\", \"c\": \"Σ (-1)^n x^n\/n!","_debug_options_count":4},{"id":17157,"question":"Quelle est la condition pour qu'une intégrale impropre ∫[a à +∞] f(x)dx converge ?","option_a":"f est bornée sur [a, +∞[","option_b":"f est continue sur [a, +∞[","option_c":"∫[a à b] f(x)dx a une limite finie quand b→+∞","option_d":"f tend vers 0 en +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Une intégrale impropre converge si et seulement si l'intégrale sur [a,b] a une limite finie quand b tend vers l'infini.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"f est bornée sur [a, +∞[\", \"b\": \"f est continue sur [a, +∞[\"","_debug_options_count":4},{"id":17158,"question":"Vrai ou Faux ? Si deux suites (u_n) et (v_n) convergent respectivement vers L et M, alors (u_n + v_n) converge vers L + M.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est une propriété fondamentale des limites : la somme de deux suites convergentes converge vers la somme des limites.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]