Quiz — Correction Série de TD N 03 d’algèbre 1 Les Applications Partie 2.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":37600,"question":"Soit f une application linéaire de E vers F. Si f est injective, alors :","option_a":"Le noyau de f est réduit à {0}","option_b":"L'image de f est égale à F","option_c":"f est surjective","option_d":"Le noyau de f est égal à E","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une application linéaire est injective si et seulement si son noyau est réduit au vecteur nul. C'est une propriété fondamentale des applications linéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Le noyau de f est réduit à {0}\", \"b\": \"L'image de f est égale ","_debug_options_count":4},{"id":37601,"question":"L'image d'une application linéaire f : E → F est toujours :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'image d'une application linéaire est toujours un sous-espace vectoriel de F, car f préserve les combinaisons linéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":37602,"question":"Soit f : R² → R² définie par f(x,y) = (2x + y, x - y). La matrice de f dans la base canonique est :","option_a":"[[2, 1], [1, -1]]","option_b":"[[2, 1], [-1, 1]]","option_c":"[[1, 2], [-1, 1]]","option_d":"[[2, -1], [1, 1]]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La matrice d'une application linéaire est construite en appliquant f aux vecteurs de la base canonique et en prenant les coordonnées des images comme colonnes.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"[[2, 1], [1, -1]]\", \"b\": \"[[2, 1], [-1, 1]]\", \"c\": \"[[1, 2], [-1,","_debug_options_count":4},{"id":37603,"question":"Si f et g sont deux applications linéaires inversibles, alors g ∘ f est :","option_a":"Inversible et son inverse est f⁻¹ ∘ g⁻¹","option_b":"Non inversible","option_c":"Inversible et son inverse est g⁻¹ ∘ f⁻¹","option_d":"Inversible seulement si f = g","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La composition de deux applications linéaires inversibles est inversible, et son inverse est donné par (g ∘ f)⁻¹ = f⁻¹ ∘ g⁻¹.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Inversible et son inverse est f⁻¹ ∘ g⁻¹\", \"b\": \"Non inver","_debug_options_count":4},{"id":37604,"question":"Le noyau d'une application linéaire f : E → F est toujours un sous-espace vectoriel de E.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le noyau est défini comme l'ensemble des vecteurs de E dont l'image par f est le vecteur nul. C'est donc un sous-espace vectoriel de E.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":37605,"question":"Soit f : R³ → R² une application linéaire. Quelle est la dimension maximale possible de l'image de f ?","option_a":"1","option_b":"2","option_c":"3","option_d":"0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'image d'une application linéaire f : E → F est un sous-espace vectoriel de F. Sa dimension est au plus égale à la dimension de F, ici 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"1\", \"b\": \"2\", \"c\": \"3\", \"d\": \"0\"}}","_debug_options_count":4},{"id":37606,"question":"Si f : E → F est une application linéaire et dim(E) = dim(F), alors :","option_a":"f est toujours inversible","option_b":"f est inversible si et seulement si elle est injective","option_c":"f est inversible si et seulement si elle est surjective","option_d":"f est toujours non inversible","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Si dim(E) = dim(F), une application linéaire est inversible si et seulement si elle est bijective, c'est-à-dire à la fois injective et surjective.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"f est toujours inversible\", \"b\": \"f est inversible si et seulemen","_debug_options_count":4},{"id":37607,"question":"Soit f : R² → R² définie par f(x,y) = (x + y, x - y). Le noyau de f est :","option_a":"{(0,0)}","option_b":"R²","option_c":"{(x,y) | x = y}","option_d":"{(x,y) | x = -y}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le noyau est l'ensemble des vecteurs (x,y) tels que f(x,y) = (0,0). En résolvant le système, on trouve x + y = 0 et x - y = 0, ce qui implique x = y = 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"{(0,0)}\", \"b\": \"R²\", \"c\": \"{(x,y) | x = y}\", \"d\": \"{(x,y) | x = ","_debug_options_count":4},{"id":37608,"question":"Une application linéaire f : E → F est surjective si et seulement si son image est égale à F.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une application linéaire est surjective si et seulement si son image est égale à l'espace d'arrivée F. C'est une définition directe de la surjectivité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":37609,"question":"Soit f : R³ → R³ une application linéaire dont la matrice dans la base canonique est [[1,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]. Cette application est :","option_a":"Injective et surjective","option_b":"Injective mais pas surjective","option_c":"Surjective mais pas injective","option_d":"Ni injective ni surjective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"d","explication":"La matrice a un déterminant nul (ligne de zéros), donc f n'est pas inversible. Elle n'est ni injective (noyau non trivial) ni surjective (image de dimension 2 ≠ 3).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"d\", \"options\": {\"a\": \"Injective et surjective\", \"b\": \"Injective mais pas surjective\", \"","_debug_options_count":4}]