Testez vos connaissances sur l'uniforme continuité — Mathématiques Terminale

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":29978,"question":"Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si pour tout ε\u003E0, il existe δ\u003E0 tel que pour tous x,y dans I, |x-y|\u003Cδ implique |f(x)-f(y)|\u003Cε, alors f est :","option_a":"continue en un point","option_b":"uniformément continue sur I","option_c":"dérivable sur I","option_d":"bornée sur I","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Cette définition correspond exactement à la caractérisation de l'uniforme continuité sur un intervalle I.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29979,"question":"Toute fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est le théorème de Heine, qui garantit l'uniforme continuité pour les fonctions continues sur un compact (intervalle fermé borné).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29980,"question":"La fonction f(x) = 1\/x est uniformément continue sur l'intervalle ]0, +∞[.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction n'est pas uniformément continue car elle n'est pas bornée près de 0, bien qu'elle soit continue sur cet intervalle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29981,"question":"Soit f une fonction uniformément continue sur [a,b]. Alors f est :","option_a":"nécessairement dérivable","option_b":"bornée sur [a,b]","option_c":"discontinue en au moins un point","option_d":"non monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'uniforme continuité implique la continuité simple, donc f est bornée sur un intervalle fermé borné [a,b].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29982,"question":"Le théorème de Heine s'applique à toute fonction continue sur un intervalle ouvert.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème de Heine nécessite un intervalle fermé borné (compact) pour garantir l'uniforme continuité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29983,"question":"La fonction f(x) = x² est uniformément continue sur ℝ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction x² est uniformément continue sur ℝ car sa dérivée f'(x)=2x est bornée sur tout intervalle borné, et la croissance est contrôlée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29984,"question":"Soit f une fonction uniformément continue sur [0,1]. Alors pour tout ε\u003E0, il existe δ\u003E0 tel que :","option_a":"Pour tout x dans [0,1], |f(x)| \u003C ε","option_b":"Pour tous x,y dans [0,1], |x-y|\u003Cδ implique |f(x)-f(y)|\u003Cε","option_c":"f est dérivable sur [0,1]","option_d":"f est constante sur [0,1]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"C'est la définition même de l'uniforme continuité appliquée à l'intervalle [0,1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29985,"question":"La fonction f(x) = sin(1\/x) est uniformément continue sur ]0,1].","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction n'est pas uniformément continue car elle oscille de plus en plus près de 0, violant la condition de continuité uniforme.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29986,"question":"Si f est uniformément continue sur [a,b], alors elle est :","option_a":"continue en un seul point","option_b":"lipschitzienne sur [a,b]","option_c":"non bornée","option_d":"discontinue en tout point","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'uniforme continuité implique la lipschitzianité sur un intervalle compact, avec une constante de Lipschitz finie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":29987,"question":"Le théorème de Heine est un cas particulier du théorème de Borel-Lebesgue.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le théorème de Heine est une application du théorème de Borel-Lebesgue (compacité) à la continuité, mais ils ne sont pas équivalents.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]