Maîtrisez les séries numériques et entières — Terminale Mathématiques

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":62162,"question":"Quel critère permet de conclure à la convergence absolue d’une série ?","option_a":"Critère de Cauchy","option_b":"Critère de Riemann","option_c":"Critère de d’Alembert","option_d":"Critère de comparaison","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de Cauchy (ou critère de la racine) permet de conclure à la convergence absolue d’une série si la limite de la racine n-ième du terme général est inférieure à 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62163,"question":"La série harmonique ∑(1\/n) converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série harmonique ∑(1\/n) est divergente, car elle est une série de Riemann de paramètre α = 1 ≤ 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62164,"question":"Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑(n! * x^n) ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"∞","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le rayon de convergence est 0, car la série ne converge que pour x = 0 (le terme général ne tend pas vers 0 pour x ≠ 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62165,"question":"Si une série ∑u_n converge absolument, alors elle converge aussi ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, la convergence absolue implique la convergence simple (théorème de comparaison).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62166,"question":"Quel est le développement en série entière de la fonction f(x) = 1\/(1-x) ?","option_a":"∑x^n","option_b":"∑(-1)^n x^n","option_c":"∑x^(2n)","option_d":"∑n x^n","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction f(x) = 1\/(1-x) admet pour développement en série entière ∑x^n pour |x| \u003C 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62167,"question":"La série ∑(1\/n^2) converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, c’est une série de Riemann de paramètre α = 2 \u003E 1, donc elle converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62168,"question":"Quel critère est le plus adapté pour étudier la convergence de ∑(n^2 \/ 3^n) ?","option_a":"Critère de Cauchy","option_b":"Critère de d’Alembert","option_c":"Critère de comparaison","option_d":"Critère de Riemann","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le critère de d’Alembert est adapté ici, car il s’agit d’une série de la forme ∑u_n avec u_n = n^2 \/ 3^n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62169,"question":"La série ∑(sin(n)\/n) converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, par le critère de comparaison avec la série harmonique (|sin(n)\/n| ≤ 1\/n) et le théorème de Leibniz pour les séries alternées.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62170,"question":"Quel est le rayon de convergence de la série ∑(x^n \/ n^2) ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"2","option_d":"∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le rayon de convergence est 1, car le terme général est de la forme x^n \/ n^2, et le critère de d’Alembert donne une limite de 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":62171,"question":"Une série convergente peut-elle avoir une somme infinie ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Non, par définition, une série convergente a une somme finie. Une série divergente peut avoir une somme infinie ou indéterminée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]