Testez vos connaissances : Mesure et Intégration de Lebesgue

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":67452,"question":"Quelle propriété N'EST PAS vérifiée par une mesure μ sur un espace mesurable (X, T) ?","option_a":"μ(∅) = 0","option_b":"μ(A ∪ B) = μ(A) + μ(B) pour tous A, B ∈ T disjoints","option_c":"μ est toujours finie","option_d":"μ est croissante : si A ⊂ B alors μ(A) ≤ μ(B)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Une mesure n'est pas nécessairement finie. Par exemple, la mesure de Lebesgue sur ℝ est σ-finie mais pas finie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67453,"question":"Soit f une fonction mesurable positive. La fonction ∫f dμ est-elle toujours mesurable ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'intégrale d'une fonction mesurable positive est toujours mesurable, d'après le théorème de mesurabilité des intégrales.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67454,"question":"Quel théorème permet d'échanger limite et intégrale sous une hypothèse de domination ?","option_a":"Théorème de Fubini","option_b":"Théorème de Beppo Levi","option_c":"Théorème de convergence dominée de Lebesgue","option_d":"Théorème de Tonelli","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le théorème de convergence dominée de Lebesgue permet d'échanger limite et intégrale si la suite est dominée par une fonction intégrable.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67455,"question":"Si f ∈ L1(ℝ) et g = f presque partout, alors ∫f dμ = ∫g dμ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Deux fonctions égales presque partout ont la même intégrale, car l'ensemble où elles diffèrent est de mesure nulle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67456,"question":"Quelle est l'intégrale de la fonction indicatrice χ[0,1] par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"∞","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'intégrale de la fonction indicatrice χ[0,1] est égale à la longueur de l'intervalle [0,1], soit 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67457,"question":"Soit (fn) une suite de fonctions mesurables convergeant simplement vers f. Si |fn| ≤ g pour tout n et g ∈ L1, alors lim ∫fn dμ = ∫f dμ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est exactement l'énoncé du théorème de convergence dominée de Lebesgue, sous les hypothèses données.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67458,"question":"Quelle est la dimension minimale d'un espace vectoriel de fonctions mesurables sur [0,1] qui n'est pas inclus dans L1([0,1]) ?","option_a":"1","option_b":"2","option_c":"c (le cardinal du continu)","option_d":"ℵ0 (le cardinal dénombrable)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"L'espace des fonctions mesurables sur [0,1] a la puissance du continu (c), et il existe des fonctions mesurables non intégrables (ex: 1\/x sur ]0,1]).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67459,"question":"La mesure de comptage sur ℕ est-elle σ-additive ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, la mesure de comptage est σ-additive : pour une famille dénombrable d'ensembles disjoints, la mesure de leur réunion est la somme des mesures.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67460,"question":"Soit f une fonction mesurable positive. La suite (∫min(f,n) dμ) est-elle croissante ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, car min(f,n) ≤ min(f,n+1) pour tout n, et l'intégrale est croissante par rapport à la fonction.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":67461,"question":"Quel est l'espace dual de L1([0,1]) ?","option_a":"L1([0,1])","option_b":"L∞([0,1])","option_c":"L2([0,1])","option_d":"C([0,1])","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"D'après le théorème de représentation de Riesz, le dual de L1([0,1]) est isométriquement isomorphe à L∞([0,1]).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]