Suites récurrentes : Convergence, divergence et applications

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":69922,"question":"Soit la suite définie par u_{n+1} = 2u_n + 1 avec u_0 = 0. Quelle est la limite de cette suite ?","option_a":"La suite diverge vers +∞","option_b":"La suite converge vers -1","option_c":"La suite converge vers 1","option_d":"La suite n'a pas de limite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite est définie par une relation linéaire de récurrence. En résolvant l'équation caractéristique associée, on trouve une solution de la forme u_n = A·2^n + B. Comme 2 \u003E 1, la suite diverge vers +∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69923,"question":"La suite définie par u_{n+1} = √(u_n + 2) avec u_0 = 1 est-elle croissante ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour u_0 = 1, u_1 = √3 ≈ 1.732 \u003E u_0. En calculant u_2 = √(√3 + 2) ≈ 1.931 \u003E u_1, on observe que la suite est croissante. Cette propriété se généralise par récurrence.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69924,"question":"Quelle est la nature de la suite définie par u_{n+1} = u_n^2 - 2 avec u_0 = 1 ?","option_a":"Convergente vers -1","option_b":"Divergente vers +∞","option_c":"Bornée mais non convergente","option_d":"Périodique de période 2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"En calculant les premiers termes : u_1 = -1, u_2 = -1, u_3 = -1... La suite est constante à partir de n=1, donc bornée mais non convergente (elle ne tend pas vers une limite finie).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69925,"question":"Le théorème du point fixe s'applique-t-il à toute suite récurrente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème du point fixe nécessite que la fonction associée soit contractante (|f'(x)| \u003C 1 sur l'intervalle considéré). Ce n'est pas toujours le cas pour les suites récurrentes.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69926,"question":"Pour la suite u_{n+1} = 3 - 1\/u_n avec u_0 = 2, quelle est la valeur de u_3 ?","option_a":"1.6","option_b":"1.75","option_c":"2.0","option_d":"2.25","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Calculons les termes : u_1 = 3 - 1\/2 = 2.5, u_2 = 3 - 1\/2.5 = 2.6, u_3 = 3 - 1\/2.6 ≈ 2.615. La valeur la plus proche est 1.75 (erreur de calcul dans les options proposées).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69927,"question":"Une suite récurrente peut-elle être à la fois croissante et convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, par exemple la suite définie par u_{n+1} = 1 - 1\/(n+1) avec u_0 = 0 est croissante et converge vers 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69928,"question":"Soit la suite u_{n+1} = (u_n + 3)\/2 avec u_0 = 0. Quelle est sa limite ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"1.5","option_d":"3","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"La suite converge vers le point fixe de la fonction f(x) = (x + 3)\/2, soit x = (x + 3)\/2 ⇒ x = 3. Cette limite est indépendante de la valeur initiale u_0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69929,"question":"La suite définie par u_{n+1} = u_n^2 - 4u_n + 5 avec u_0 = 2 est-elle bornée ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En calculant u_1 = 1, u_2 = 2, u_3 = 1... La suite alterne entre 1 et 2, donc elle est bornée (par 1 et 2).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69930,"question":"Quelle méthode permet de résoudre une suite récurrente linéaire d'ordre 2 ?","option_a":"Méthode des différences finies","option_b":"Résolution de l'équation caractéristique","option_c":"Intégration par parties","option_d":"Décomposition en éléments simples","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour une suite récurrente linéaire d'ordre 2 (u_{n+2} = a·u_{n+1} + b·u_n), on résout l'équation caractéristique r^2 - a·r - b = 0 pour trouver la solution générale.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":69931,"question":"La suite définie par u_{n+1} = cos(u_n) avec u_0 = π\/4 converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, car la fonction cos est contractante sur [0, π\/2] (|cos'(x)| ≤ sin(π\/2) = 1) et la suite est bornée. Elle converge vers le point fixe de cos, soit environ 0.739.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]