Séries et séries de fonctions — Quiz interactif pour Terminale Math

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":30368,"question":"Soit la série de terme général \u003Cem\u003Eu\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E = 1\/n\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E\u003C\/em\u003E. Cette série est :","option_a":"Convergente","option_b":"Divergente","option_c":"Semi-convergente","option_d":"Oscillante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série \u003Cem\u003EΣ 1\/n\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E\u003C\/em\u003E est une série de Riemann convergente (car 2 \u003E 1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30369,"question":"Le critère de d'Alembert permet de conclure à la convergence d'une série si :","option_a":"La limite du rapport \u003Cem\u003Eu\u003Csub\u003En+1\u003C\/sub\u003E\/u\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E\u003C\/em\u003E est strictement inférieure à 1","option_b":"La limite du rapport est strictement supérieure à 1","option_c":"La limite du rapport est égale à 1","option_d":"La série est alternée","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de d'Alembert stipule que si \u003Cem\u003Elim |u\u003Csub\u003En+1\u003C\/sub\u003E\/u\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E| = L \u003C 1\u003C\/em\u003E, alors la série converge absolument.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30370,"question":"Une série de fonctions \u003Cem\u003EΣ f\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E(x)\u003C\/em\u003E converge uniformément sur un intervalle I si :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La convergence uniforme exige que la convergence soit uniforme sur tout l'intervalle I, indépendamment de x.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30371,"question":"Soit la série \u003Cem\u003EΣ (-1)\u003Csup\u003En\u003C\/sup\u003E\/n\u003C\/em\u003E. Cette série est :","option_a":"Convergente","option_b":"Divergente","option_c":"Semi-convergente","option_d":"Absolument convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La série \u003Cem\u003EΣ (-1)\u003Csup\u003En\u003C\/sup\u003E\/n\u003C\/em\u003E est semi-convergente (convergente mais pas absolument convergente).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30372,"question":"Le théorème de Weierstrass s'applique pour étudier la convergence :","option_a":"Simple","option_b":"Uniforme","option_c":"Normale","option_d":"Absolue","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le théorème de Weierstrass permet de conclure à la convergence normale (et donc uniforme) d'une série de fonctions.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30373,"question":"Si \u003Cem\u003Elim |u\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E| = 0\u003C\/em\u003E, alors la série \u003Cem\u003EΣ u\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E\u003C\/em\u003E est convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La condition \u003Cem\u003Elim |u\u003Csub\u003En\u003C\/sub\u003E| = 0\u003C\/em\u003E est nécessaire mais pas suffisante pour la convergence (exemple : série harmonique).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30374,"question":"Soit la série \u003Cem\u003EΣ n\/(n\u003Csup\u003E2\u003C\/sup\u003E + 1)\u003C\/em\u003E. Cette série est :","option_a":"Convergente","option_b":"Divergente","option_c":"Semi-convergente","option_d":"Oscillante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En comparant avec \u003Cem\u003E1\/n\u003C\/em\u003E (série harmonique divergente), on montre que la série diverge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30375,"question":"La convergence uniforme d'une série de fonctions implique la convergence simple.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La convergence uniforme est plus forte : elle implique la convergence simple.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30376,"question":"Soit la série \u003Cem\u003EΣ 1\/(n(n+1))\u003C\/em\u003E. Cette série est :","option_a":"Convergente","option_b":"Divergente","option_c":"Semi-convergente","option_d":"Absolument convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série se télescope : \u003Cem\u003E1\/(n(n+1)) = 1\/n - 1\/(n+1)\u003C\/em\u003E, donc la somme partielle converge vers 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":30377,"question":"Le critère de Cauchy (ou critère de Cauchy généralisé) s'applique pour :","option_a":"Étudier la convergence absolue","option_b":"Étudier la convergence simple","option_c":"Étudier la convergence uniforme","option_d":"Étudier la convergence normale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de Cauchy permet de tester la convergence absolue d'une série.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]