Les développements limités en terminale scientifique

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":68432,"question":"Quel est l'ordre minimal d'un développement limité pour étudier l'asymptote oblique d'une fonction ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"2","option_d":"3","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Un développement limité d'ordre 2 est nécessaire pour déterminer à la fois la pente et l'ordonnée à l'origine de l'asymptote oblique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68433,"question":"La formule de Taylor-Young s'écrit : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + ... + (f^(n)(a)\/n!)(x-a)^n + o((x-a)^n). Vrai ou Faux ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La formule est correcte. Elle permet d'exprimer une fonction sous forme de développement limité autour du point a.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68434,"question":"Quel développement limité correspond à la fonction exponentielle e^x au voisinage de 0 à l'ordre 3 ?","option_a":"1 + x + x²\/2 + x³\/6 + o(x³)","option_b":"1 + x + x² + x³ + o(x³)","option_c":"x + x²\/2 + x³\/3 + o(x³)","option_d":"1 + 2x + 3x² + 4x³ + o(x³)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le développement limité de e^x en 0 à l'ordre 3 est 1 + x + x²\/2 + x³\/6 + o(x³), car les dérivées successives de e^x en 0 valent toutes 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68435,"question":"Si f(x) ~ g(x) quand x tend vers l'infini, alors f(x) et g(x) ont la même asymptote horizontale. Vrai ou Faux ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. La relation de croissance comparée f(x) ~ g(x) implique que f et g ont le même comportement asymptotique à l'infini.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68436,"question":"Quel est le développement limité de ln(1+x) au voisinage de 0 à l'ordre 4 ?","option_a":"x - x²\/2 + x³\/3 - x⁴\/4 + o(x⁴)","option_b":"x + x²\/2 + x³\/3 + x⁴\/4 + o(x⁴)","option_c":"1 + x - x²\/2 + x³\/3 - x⁴\/4 + o(x⁴)","option_d":"x - x³\/3 + o(x⁴)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le développement limité de ln(1+x) en 0 est x - x²\/2 + x³\/3 - x⁴\/4 + o(x⁴), obtenu en intégrant celui de 1\/(1+x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68437,"question":"Un développement limité d'ordre n est toujours unique pour une fonction donnée. Vrai ou Faux ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Le développement limité d'une fonction en un point est unique pour un ordre donné, car il repose sur les dérivées successives de la fonction.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68438,"question":"Pour une fonction f dérivable n fois en a, le développement limité d'ordre n s'écrit : f(x) = P_n(x-a) + o((x-a)^n), où P_n est un polynôme de degré...","option_a":"n-1","option_b":"n","option_c":"n+1","option_d":"infini","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"P_n est un polynôme de degré n, car il inclut les termes jusqu'à (x-a)^n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68439,"question":"Quel développement limité permet d'étudier le comportement de la fonction f(x) = sin(x)\/x quand x tend vers 0 ?","option_a":"1 - x²\/6 + o(x²)","option_b":"x - x³\/6 + o(x³)","option_c":"1 + x²\/2 + o(x²)","option_d":"x + x³\/6 + o(x³)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le développement limité de sin(x) est x - x³\/6 + o(x³), donc sin(x)\/x = 1 - x²\/6 + o(x²) au voisinage de 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68440,"question":"Si f(x) = (1+x)^α, alors son développement limité en 0 à l'ordre 2 est :","option_a":"1 + αx + α(α-1)x²\/2 + o(x²)","option_b":"1 + αx + αx² + o(x²)","option_c":"1 + x + x² + o(x²)","option_d":"α + αx + αx²\/2 + o(x²)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le développement limité de (1+x)^α est donné par la formule du binôme généralisé : 1 + αx + α(α-1)x²\/2 + o(x²).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":68441,"question":"Les développements limités permettent de calculer des intégrales impropres convergentes. Vrai ou Faux ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. En remplaçant une fonction par son développement limité, on peut parfois simplifier le calcul d'une intégrale impropre.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]