Les puissances de matrices en Terminale Mathématiques

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":65312,"question":"Soit A une matrice carrée. Que représente A² ?","option_a":"A + A","option_b":"A × A","option_c":"A - A","option_d":"A \/ A","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"A² est le résultat de la multiplication de la matrice A par elle-même, soit A × A.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65313,"question":"Pour une matrice diagonale D = diag(a, b, c), que vaut Dⁿ ?","option_a":"diag(aⁿ, bⁿ, cⁿ)","option_b":"diag(a, b, c)ⁿ","option_c":"diag(a+b, b+c, c+a)","option_d":"diag(a×n, b×n, c×n)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour une matrice diagonale, la puissance n-ième s'obtient en élevant chaque élément diagonal à la puissance n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65314,"question":"Si A est une matrice nilpotente d'indice 2, alors A² = 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une matrice nilpotente d'indice 2 vérifie A² = 0, mais A ≠ 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65315,"question":"Soit A une matrice inversible. Que vaut (Aⁿ)⁻¹ ?","option_a":"(A⁻¹)ⁿ","option_b":"A⁻ⁿ","option_c":"Aⁿ","option_d":"n × A⁻¹","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'inverse de la puissance n-ième d'une matrice inversible est la puissance n-ième de son inverse.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65316,"question":"Quelle propriété est vérifiée par les puissances d'une matrice symétrique ?","option_a":"Elles sont toujours inversibles","option_b":"Elles sont toujours symétriques","option_c":"Elles sont toujours triangulaires","option_d":"Elles sont toujours nulles","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le produit de matrices symétriques n'est pas toujours symétrique, mais si A est symétrique, alors Aⁿ l'est aussi.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65317,"question":"Si A est une matrice de rotation de 90°, que vaut A⁴ ?","option_a":"A","option_b":"I (matrice identité)","option_c":"0","option_d":"-I","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Une rotation de 90° quatre fois de suite ramène à la position initiale, donc A⁴ = I.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65318,"question":"La puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure est toujours triangulaire supérieure.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le produit de matrices triangulaires supérieures reste triangulaire supérieure, donc sa puissance n-ième aussi.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65319,"question":"Soit A une matrice telle que A² = A. Que peut-on dire de A ?","option_a":"A est la matrice nulle","option_b":"A est la matrice identité","option_c":"A est idempotente","option_d":"A est nilpotente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Une matrice vérifiant A² = A est dite idempotente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65320,"question":"Pour calculer Aⁿ, quelle méthode est la plus efficace si A est diagonalisable ?","option_a":"Utiliser la formule de Taylor","option_b":"Diagonaliser A et utiliser A = PDP⁻¹","option_c":"Résoudre l'équation caractéristique","option_d":"Appliquer la méthode de Gauss","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Si A est diagonalisable, on écrit A = PDP⁻¹, puis Aⁿ = PDⁿP⁻¹, ce qui simplifie le calcul.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":65321,"question":"Si A est une matrice de permutation circulaire, que vaut A³ pour une matrice 3×3 ?","option_a":"A","option_b":"I","option_c":"0","option_d":"A²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Une permutation circulaire de 3 éléments vérifie A³ = I, car 3 rotations de 120° ramènent à la position initiale.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]