Limites de suites par encadrement — Quiz interactif

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":57031,"question":"Soit une suite (uₙ) telle que pour tout n ≥ 0, 2 - 1\/n ≤ uₙ ≤ 2 + 1\/n. Que peut-on dire de la limite de (uₙ) ?","option_a":"La suite (uₙ) diverge vers +∞","option_b":"La suite (uₙ) converge vers 2","option_c":"La suite (uₙ) n'a pas de limite","option_d":"La suite (uₙ) converge vers 0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Les suites minorante (2 - 1\/n) et majorante (2 + 1\/n) convergent toutes deux vers 2. Par le théorème des gendarmes, (uₙ) converge aussi vers 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57032,"question":"Si pour tout n ≥ 1, -n ≤ uₙ ≤ n, alors la suite (uₙ) est bornée.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une suite bornée est encadrée par deux constantes (M et m). Ici, les bornes dépendent de n (-n et n), donc la suite n'est pas bornée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57033,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que uₙ = (-1)^n \/ n. Que vaut lim(uₙ) ?","option_a":"La suite diverge","option_b":"La suite converge vers 0","option_c":"La suite converge vers 1","option_d":"La suite n'a pas de limite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour tout n ≥ 1, |uₙ| = 1\/n → 0 quand n → +∞. Donc, par le théorème des gendarmes (encadrée par -1\/n et 1\/n), (uₙ) converge vers 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57034,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que pour tout n ≥ 0, n ≤ uₙ ≤ n². Que peut-on conclure sur la limite de (uₙ) ?","option_a":"La suite converge vers 0","option_b":"La suite diverge vers +∞","option_c":"On ne peut pas conclure","option_d":"La suite converge vers 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Les suites minorante (n) et majorante (n²) divergent toutes deux vers +∞. Cependant, cela ne permet pas de conclure sur la limite de (uₙ) sans information supplémentaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57035,"question":"Le théorème des gendarmes s'applique uniquement si les deux suites encadrantes convergent vers la même limite.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le théorème des gendarmes nécessite que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite. Si elles convergent vers des limites différentes, le théorème ne s'applique pas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57036,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que pour tout n ≥ 1, 1 - 1\/(n+1) ≤ uₙ ≤ 1 + 1\/(n+1). Que vaut lim(uₙ) ?","option_a":"La suite converge vers 0","option_b":"La suite converge vers 1","option_c":"La suite diverge","option_d":"La suite n'a pas de limite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Les suites minorante (1 - 1\/(n+1)) et majorante (1 + 1\/(n+1)) convergent toutes deux vers 1. Par le théorème des gendarmes, (uₙ) converge aussi vers 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57037,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que uₙ = n \/ (n + 1). Peut-on encadrer cette suite pour déterminer sa limite ?","option_a":"Oui, en utilisant 0 ≤ uₙ ≤ 1","option_b":"Non, car la suite n'est pas bornée","option_c":"Oui, mais il faut une autre méthode","option_d":"Non, car la suite est décroissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"On peut encadrer uₙ par 0 ≤ uₙ ≤ 1 pour tout n ≥ 0. Comme les suites constantes 0 et 1 convergent vers 0 et 1 respectivement, on ne peut pas appliquer directement le théorème des gendarmes. Cependant, on peut montrer que uₙ → 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57038,"question":"Si une suite (uₙ) est encadrée par deux suites qui divergent vers +∞, alors (uₙ) diverge aussi vers +∞.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Ce n'est pas toujours vrai. Par exemple, si uₙ = n + (-1)^n, alors uₙ est encadrée par n-1 et n+1, qui divergent vers +∞, mais uₙ n'a pas de limite (elle oscille).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57039,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que pour tout n ≥ 1, 1\/n ≤ uₙ ≤ 2\/n. Que vaut lim(uₙ) ?","option_a":"La suite converge vers 0","option_b":"La suite converge vers 1","option_c":"La suite diverge","option_d":"On ne peut pas conclure","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Les suites minorante (1\/n) et majorante (2\/n) convergent toutes deux vers 0. Par le théorème des gendarmes, (uₙ) converge aussi vers 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":57040,"question":"Le théorème des gendarmes permet de déterminer la limite d'une suite même si celle-ci n'est pas encadrée par des suites convergentes.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème des gendarmes nécessite que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite. Sans cette condition, le théorème ne s'applique pas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]