La fonction Digamma : propriétés et applications

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":53981,"question":"La fonction Digamma ψ(z) est définie comme :","option_a":"La dérivée de la fonction Gamma","option_b":"La dérivée logarithmique de la fonction Gamma","option_c":"L'intégrale de la fonction Gamma","option_d":"La primitive de la fonction Gamma","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction Digamma est la dérivée logarithmique de la fonction Gamma, c'est-à-dire ψ(z) = Γ'(z)\/Γ(z).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53982,"question":"La fonction Digamma satisfait la relation ψ(z+1) = ψ(z) + ...","option_a":"z","option_b":"1\/z","option_c":"1","option_d":"z²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La relation fonctionnelle de la fonction Digamma est ψ(z+1) = ψ(z) + 1\/z pour z ≠ 0, -1, -2, ...","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53983,"question":"Vrai ou Faux : La fonction Digamma est définie pour tout nombre complexe z.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction Digamma n'est pas définie pour les entiers négatifs (z = 0, -1, -2, ...).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53984,"question":"Quelle est la valeur de ψ(1) ?","option_a":"0","option_b":"-γ (constante d'Euler-Mascheroni)","option_c":"1","option_d":"∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"ψ(1) = -γ, où γ est la constante d'Euler-Mascheroni (environ 0,5772).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53985,"question":"La fonction Digamma est-elle une fonction périodique ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction Digamma n'est pas périodique. Elle admet une relation fonctionnelle ψ(z+1) = ψ(z) + 1\/z, mais ne se répète pas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53986,"question":"Quelle est la limite de ψ(z) lorsque z tend vers +∞ ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"ln(z)","option_d":"∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"Lorsque z tend vers +∞, ψ(z) ~ ln(z) - 1\/(2z) - ..., donc ψ(z) tend vers +∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53987,"question":"La fonction Digamma est-elle convexe sur son domaine de définition ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction Digamma est convexe sur son domaine de définition (z ≠ 0, -1, -2, ...).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53988,"question":"Quelle est la relation entre ψ(z) et la fonction Zêta de Riemann ?","option_a":"ψ(z) = ζ(z) - 1","option_b":"ψ(z) = ζ'(z)\/ζ(z)","option_c":"ψ(z) = ζ(z) * ζ(1-z)","option_d":"Aucune relation directe","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La dérivée logarithmique de la fonction Zêta de Riemann est liée à la fonction Digamma par ψ(z) = -ζ'(z)\/ζ(z) pour certains z.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53989,"question":"Vrai ou Faux : La fonction Digamma est une solution de l'équation différentielle y' = y² + π²\/6.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction Digamma satisfait l'équation différentielle y' = y² + π²\/6 pour certains domaines.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":53990,"question":"Quelle est la valeur de la série Σ (de k=1 à ∞) [1\/k - 1\/(k+z)] ?","option_a":"ψ(z)","option_b":"ψ(z+1)","option_c":"ψ(1) - ψ(z)","option_d":"ln(z)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série Σ (de k=1 à ∞) [1\/k - 1\/(k+z)] converge vers ψ(z+1) + γ, où γ est la constante d'Euler-Mascheroni.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]