Quiz — ccp-mp-maths1-2016e.pdf

Question 1 sur 5 10:00

[{"id":603,"question":"Soit une matrice carrée A d'ordre 2 telle que A² = 0 (matrice nulle). Que peut-on dire de ses valeurs propres ?","option_a":"Toutes les valeurs propres sont strictement positives","option_b":"Toutes les valeurs propres sont égales à 0","option_c":"Les valeurs propres sont complexes conjuguées","option_d":"La matrice A est diagonalisable","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Une matrice nilpotente (A² = 0) a nécessairement toutes ses valeurs propres égales à 0. En effet, si λ est une valeur propre de A, alors λ² est une valeur propre de A² = 0, donc λ² = 0 ⇒ λ = 0. La diagonalisabilité n'est pas garantie (exemple : A = [[0,1],[0,0]]).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":604,"question":"Quelle est la nature de la série de terme général u_n = (-1)^n \/ n pour n ≥ 1 ?","option_a":"Convergente absolument","option_b":"Convergente mais pas absolument","option_c":"Divergente","option_d":"Semi-convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série est convergente par le critère des séries alternées (théorème de Leibniz), mais la série des valeurs absolues (série harmonique) est divergente. On parle donc de convergence semi-convergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":605,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ \u003E 0. Quelle est l'espérance de X ?","option_a":"λ","option_b":"1\/λ","option_c":"λ²","option_d":"e^(-λ)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Pour une loi exponentielle de paramètre λ, l'espérance est E(X) = 1\/λ. Cette propriété découle directement de l'intégrale ∫₀^∞ x λ e^(-λx) dx = 1\/λ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":606,"question":"Résoudre l'équation différentielle y' + 2y = e^(-x) avec y(0) = 1.","option_a":"y(x) = e^(-2x) + e^(-x)","option_b":"y(x) = (x + 1)e^(-2x)","option_c":"y(x) = e^(-x)","option_d":"y(x) = 2e^(-x) - e^(-2x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"La solution générale de l'équation homogène est y_h(x) = C e^(-2x). Une solution particulière est y_p(x) = e^(-x). La solution générale est y(x) = C e^(-2x) + e^(-x). Avec y(0) = 1, on trouve C = 0, donc y(x) = e^(-x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":607,"question":"Soit f une fonction continue sur [0,1] telle que ∫₀¹ f(x) dx = 0. Que peut-on affirmer sur f ?","option_a":"f est identiquement nulle","option_b":"f s'annule au moins une fois sur [0,1]","option_c":"f est constante","option_d":"f est dérivable sur [0,1]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Par le théorème des valeurs intermédiaires, si f est continue et ∫₀¹ f(x) dx = 0, alors f prend au moins une fois la valeur 0 sur [0,1]. La fonction n'est pas nécessairement nulle partout (exemple : f(x) = 2x - 1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]