Convexité et fonctions dérivées — Testez vos connaissances !

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":58256,"question":"Quelle est la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction f soit convexe sur un intervalle I ?","option_a":"Sa dérivée première f' est croissante sur I","option_b":"Sa dérivée seconde f'' est positive sur I","option_c":"Sa dérivée première f' est décroissante sur I","option_d":"Sa dérivée seconde f'' est négative sur I","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Une fonction f est convexe sur I si et seulement si sa dérivée seconde f'' est positive sur cet intervalle. Cela garantit que la courbe est tournée vers le haut.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58257,"question":"Si f''(a) = 0 et f'' change de signe en a, alors le point d'abscisse a est :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Si f''(a) = 0 et change de signe en a, alors a est un point d'inflexion, et non un point de convexité ou concavité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58258,"question":"Soit f une fonction deux fois dérivable sur ℝ. Si f'(2) = 3 et f''(2) = -1, alors la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 2 est :","option_a":"Croissante et concave","option_b":"Croissante et convexe","option_c":"Décroissante et concave","option_d":"Décroissante et convexe","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"f'(2) = 3 \u003E 0 indique que la fonction est croissante en 2. f''(2) = -1 \u003C 0 indique que la fonction est concave en 2. Donc la tangente est croissante et concave.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58259,"question":"La fonction f(x) = x³ est convexe sur :","option_a":"]-∞ ; 0[","option_b":"[0 ; +∞[","option_c":"]-∞ ; +∞[","option_d":"Aucun intervalle","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"f''(x) = 6x. f''(x) \u003E 0 pour x \u003E 0, donc f est convexe sur [0 ; +∞[.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58260,"question":"Si f est une fonction convexe sur ℝ, alors pour tous réels a et b, on a :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Une fonction convexe vérifie l'inégalité de convexité : f(λa + (1-λ)b) ≤ λf(a) + (1-λ)f(b) pour tout λ ∈ [0,1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58261,"question":"Soit f une fonction deux fois dérivable. Si f''(x) \u003E 0 pour tout x ∈ ℝ, alors :","option_a":"f est concave sur ℝ","option_b":"f est convexe sur ℝ","option_c":"f est constante sur ℝ","option_d":"f est linéaire sur ℝ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Si f''(x) \u003E 0 pour tout x, alors f est convexe sur ℝ. Cela signifie que sa courbe est toujours tournée vers le haut.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58262,"question":"La fonction f(x) = -x² est convexe sur :","option_a":"]-∞ ; 0[","option_b":"[0 ; +∞[","option_c":"]-∞ ; +∞[","option_d":"Aucun intervalle","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"f''(x) = -2 \u003C 0 pour tout x, donc f est concave (et non convexe) sur ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58263,"question":"Si f est une fonction convexe sur un intervalle I, alors sa dérivée f' est :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Si f est convexe sur I, alors f' est croissante sur I (car f'' ≥ 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58264,"question":"Soit f une fonction deux fois dérivable. Si f'(0) = 0 et f''(0) = 2, alors la fonction f admet en 0 :","option_a":"Un minimum local","option_b":"Un maximum local","option_c":"Un point d'inflexion","option_d":"Aucun extremum","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"f'(0) = 0 et f''(0) = 2 \u003E 0 indique que f admet un minimum local en 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":58265,"question":"La fonction f(x) = e^x est convexe sur :","option_a":"]-∞ ; 0[","option_b":"[0 ; +∞[","option_c":"]-∞ ; +∞[","option_d":"Aucun intervalle","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"f''(x) = e^x \u003E 0 pour tout x, donc f est convexe sur ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]