Maîtrisez les suites réelles — Quiz interactif pour Terminale Math

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":28058,"question":"Soit une suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 3. Que peut-on dire de sa limite ?","option_a":"Elle converge vers 3","option_b":"Elle diverge vers +∞","option_c":"Elle converge vers -3","option_d":"Elle n'a pas de limite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La suite est arithmético-géométrique. En résolvant l'équation l = 2l + 3, on trouve l = -3, mais comme u_0 = 1 \u003E -3 et la suite est croissante, elle diverge vers +∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28059,"question":"Une suite bornée est-elle toujours convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Exemple : la suite u_n = (-1)^n est bornée mais ne converge pas (elle oscille entre -1 et 1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28060,"question":"Quelle est la limite de la suite u_n = (n^2 + 1)\/(2n^2 - 3) quand n tend vers +∞ ?","option_a":"0","option_b":"1\/2","option_c":"1","option_d":"+∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n^2, on obtient u_n = (1 + 1\/n^2)\/(2 - 3\/n^2), qui tend vers 1\/2 quand n → +∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28061,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_{n+1} = u_n^2 et u_0 = 1\/2. Que peut-on affirmer ?","option_a":"La suite est décroissante","option_b":"La suite converge vers 0","option_c":"La suite diverge vers +∞","option_d":"La suite est constante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite est décroissante car u_{n+1} = u_n^2 ≤ u_n (car 0 ≤ u_n ≤ 1). Elle converge vers 0 car u_n tend vers 0 quand n → +∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28062,"question":"Le théorème des gendarmes s'applique-t-il si une suite est encadrée par deux suites qui convergent vers des limites différentes ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Le théorème des gendarmes nécessite que les deux suites encadrantes convergent vers la même limite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28063,"question":"Quelle est la nature de la suite u_n = n\/(n+1) ?","option_a":"Croissante et convergente","option_b":"Décroissante et divergente","option_c":"Constante","option_d":"Non monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite est croissante car u_{n+1} - u_n = 1\/((n+1)(n+2)) \u003E 0. Elle converge vers 1 car lim(n\/(n+1)) = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28064,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = √(u_n + 2). Que peut-on dire de sa limite ?","option_a":"Elle converge vers 2","option_b":"Elle diverge vers +∞","option_c":"Elle converge vers -2","option_d":"Elle n'a pas de limite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite est croissante et majorée par 2 (car u_{n+1} ≤ √(2 + 2) = 2). Elle converge donc vers 2 (solution de l = √(l + 2)).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28065,"question":"Une suite strictement croissante est-elle toujours divergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Exemple : la suite u_n = 1 - 1\/n est strictement croissante et converge vers 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28066,"question":"Quelle est la limite de la suite u_n = (3^n + 2^n)\/(4^n - 1) quand n tend vers +∞ ?","option_a":"0","option_b":"3\/4","option_c":"1","option_d":"+∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"En factorisant par 4^n au numérateur et dénominateur, on obtient u_n = ( (3\/4)^n + (1\/2)^n ) \/ (1 - 1\/4^n ), qui tend vers 0 quand n → +∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":28067,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_{n+1} = u_n\/2 + 1 et u_0 = 0. Que peut-on affirmer sur sa convergence ?","option_a":"Elle converge vers 2","option_b":"Elle diverge vers +∞","option_c":"Elle converge vers 1","option_d":"Elle n'a pas de limite","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite est contractante et converge vers la solution de l = l\/2 + 1, soit l = 2. On peut aussi montrer qu'elle est croissante et majorée par 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]