Quiz : Équations fonctionnelles — Niveau Terminale

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":19398,"question":"Quelle est la solution générale de l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y) si f est continue ?","option_a":"f(x) = kx (fonction linéaire)","option_b":"f(x) = kx²","option_c":"f(x) = k·e^x","option_d":"f(x) = k·ln(x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La solution générale de f(x+y) = f(x) + f(y) pour une fonction continue est f(x) = kx, où k est une constante réelle. C'est la propriété fondamentale des fonctions linéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19399,"question":"L'équation f(xy) = f(x)f(y) admet-elle toujours des solutions non nulles ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Les fonctions f(x) = x^n (pour n entier) ou f(x) = 0 sont des solutions non nulles de cette équation.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19400,"question":"Quelle méthode est adaptée pour résoudre une équation fonctionnelle de la forme f'(x) = f(x) ?","option_a":"Intégration directe","option_b":"Résolution par substitution","option_c":"Utilisation de la dérivée seconde","option_d":"Méthode des coefficients indéterminés","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'équation f'(x) = f(x) se résout par intégration directe, ce qui donne f(x) = Ce^x, où C est une constante.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19401,"question":"Si f est une fonction dérivable vérifiant f(x+y) = f(x)f(y) pour tous x et y, alors f est nécessairement de la forme :","option_a":"f(x) = e^{kx}","option_b":"f(x) = kx","option_c":"f(x) = k·ln(x)","option_d":"f(x) = x² + k","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19402,"question":"L'équation f(x+1) = 2f(x) admet-elle des solutions non nulles ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Les solutions sont de la forme f(x) = C·2^x, où C est une constante non nulle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19403,"question":"Quelle propriété doit vérifier une fonction pour être solution de l'équation f(x+y) = f(x) + f(y) + xy ?","option_a":"Être dérivable","option_b":"Être continue","option_c":"Être polynomiale de degré 2","option_d":"Être périodique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La solution générale de f(x+y) = f(x) + f(y) + xy est f(x) = (x²)\/2 + kx, où k est une constante. Elle est donc polynomiale de degré 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19404,"question":"Si f est une fonction vérifiant f(x+y) = f(x) + f(y) pour tous x et y, alors f est nécessairement :","option_a":"Linéaire","option_b":"Exponentielle","option_c":"Logarithmique","option_d":"Constante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Si f est continue, alors f est linéaire (f(x) = kx). Sans hypothèse de continuité, il existe des solutions pathologiques (non mesurables).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19405,"question":"L'équation f(x) = f(2x) admet-elle des solutions non constantes ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Les fonctions périodiques de période x (comme f(x) = sin(π·ln|x|)) ou les fonctions constantes sont des solutions.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19406,"question":"Quelle est la solution générale de l'équation fonctionnelle f(x+y) = f(x) + f(y) + xy(x+y) ?","option_a":"f(x) = x³\/3 + kx","option_b":"f(x) = x²\/2 + kx","option_c":"f(x) = e^x + kx","option_d":"f(x) = ln(x) + kx","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La solution générale est f(x) = x³\/3 + kx, où k est une constante. Cette équation est une variante de l'équation de Cauchy avec un terme supplémentaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":19407,"question":"Si f est une fonction dérivable vérifiant f(x+y) = f(x)f(y) pour tous x et y, alors f(0) est égal à :","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"-1","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En posant x = y = 0, on obtient f(0) = f(0)². Les solutions sont f(0) = 0 ou f(0) = 1. Si f est non nulle, alors f(0) = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]