Quiz — TD 09 corrigé - Cinématique analytique - Dérivation vectorielle.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":78856,"question":"Quel est le vecteur dérivé du vecteur position \\(\\vec{r}(t) = (3t^2 + 2)\\vec{i} + (4t - 1)\\vec{j}\\) ?","option_a":"A. \\(\\vec{v}(t) = (6t)\\vec{i} + (4)\\vec{j}\\)","option_b":"B. \\(\\vec{v}(t) = (3t^2 + 2)\\vec{i} + (4t - 1)\\vec{j}\\)","option_c":"C. \\(\\vec{v}(t) = (6t + 2)\\vec{i} + (4t - 1)\\vec{j}\\)","option_d":"D. \\(\\vec{v}(t) = (6t)\\vec{i} + (4t - 1)\\vec{j}\\)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position par rapport au temps. On dérive chaque composante séparément : \\(d(3t^2 + 2)\/dt = 6t\\) et \\(d(4t - 1)\/dt = 4\\).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. \\\\(\\\\vec{v}(t) = (6t)\\\\vec{i} + (4)\\\\vec{j}\\\\)\", \"b\": \"B. \\\\(\\","_debug_options_count":4},{"id":78857,"question":"Dans un mouvement circulaire uniforme, l'accélération est toujours dirigée vers le centre de la trajectoire.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'accélération centripète est bien dirigée vers le centre, mais elle n'est pas nulle. Elle permet de maintenir le mobile sur sa trajectoire circulaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":78858,"question":"Soit un mobile dont le vecteur position est \\(\\vec{r}(t) = (t^3 - 2t)\\vec{i} + (5t^2 + 1)\\vec{j}\\). Quel est son vecteur accélération ?","option_a":"A. \\(\\vec{a}(t) = (6t)\\vec{i} + (10t)\\vec{j}\\)","option_b":"B. \\(\\vec{a}(t) = (3t^2 - 2)\\vec{i} + (10t)\\vec{j}\\)","option_c":"C. \\(\\vec{a}(t) = (6t - 2)\\vec{i} + (10t + 1)\\vec{j}\\)","option_d":"D. \\(\\vec{a}(t) = (6t)\\vec{i} + (10t)\\vec{j}\\)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"d","explication":"Le vecteur accélération est la dérivée seconde du vecteur position. On dérive d'abord le vecteur vitesse \\(\\vec{v}(t) = (3t^2 - 2)\\vec{i} + (10t)\\vec{j}\\), puis on dérive à nouveau pour obtenir \\(\\vec{a}(t) = (6t)\\vec{i} + (10)\\vec{j}\\).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"d\", \"options\": {\"a\": \"A. \\\\(\\\\vec{a}(t) = (6t)\\\\vec{i} + (10t)\\\\vec{j}\\\\)\", \"b\": \"B. \\\\","_debug_options_count":4},{"id":78859,"question":"Un mobile a un vecteur vitesse \\(\\vec{v}(t) = (2t)\\vec{i} + (3t^2 - 1)\\vec{j}\\). Quelle est la norme de sa vitesse à l'instant t = 2 s ?","option_a":"A. 10 m\/s","option_b":"B. 12 m\/s","option_c":"C. 13 m\/s","option_d":"D. 14 m\/s","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La norme de la vitesse est calculée par \\(\\|\\vec{v}(t)\\| = \\sqrt{(2t)^2 + (3t^2 - 1)^2}\\). À t = 2 s, \\(\\vec{v}(2) = (4)\\vec{i} + (11)\\vec{j}\\), donc \\(\\|\\vec{v}(2)\\| = \\sqrt{4^2 + 11^2} = \\sqrt{16 + 121} = \\sqrt{137} \\approx 11.7\\ m\/s\\). La réponse la plus proche est 13 m\/s.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"A. 10 m\/s\", \"b\": \"B. 12 m\/s\", \"c\": \"C. 13 m\/s\", \"d\": \"D. 14 m\/s\"}","_debug_options_count":4},{"id":78860,"question":"Le vecteur accélération peut-il être nul alors que le vecteur vitesse ne l'est pas ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Oui, par exemple dans un mouvement rectiligne uniforme où la vitesse est constante et l'accélération est nulle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":78861,"question":"Quelle est la dérivée du vecteur unitaire \\(\\vec{u}(t) = \\cos(\\omega t)\\vec{i} + \\sin(\\omega t)\\vec{j}\\) ?","option_a":"A. \\(\\vec{u}'(t) = -\\omega \\sin(\\omega t)\\vec{i} + \\omega \\cos(\\omega t)\\vec{j}\\)","option_b":"B. \\(\\vec{u}'(t) = \\omega \\sin(\\omega t)\\vec{i} - \\omega \\cos(\\omega t)\\vec{j}\\)","option_c":"C. \\(\\vec{u}'(t) = \\cos(\\omega t)\\vec{i} + \\sin(\\omega t)\\vec{j}\\)","option_d":"D. \\(\\vec{u}'(t) = -\\omega \\cos(\\omega t)\\vec{i} - \\omega \\sin(\\omega t)\\vec{j}\\)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"En dérivant chaque composante, on obtient \\(\\vec{u}'(t) = -\\omega \\sin(\\omega t)\\vec{i} + \\omega \\cos(\\omega t)\\vec{j}\\), ce qui correspond au vecteur vitesse angulaire multiplié par le vecteur unitaire tangent.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. \\\\(\\\\vec{u}'(t) = -\\\\omega \\\\sin(\\\\omega t)\\\\vec{i} + \\\\omega ","_debug_options_count":4},{"id":78862,"question":"Un mobile a un vecteur position \\(\\vec{r}(t) = (e^t)\\vec{i} + (\\ln(t))\\vec{j}\\). Quel est son vecteur vitesse à t = 1 s ?","option_a":"A. \\(\\vec{v}(1) = (e)\\vec{i} + (1)\\vec{j}\\)","option_b":"B. \\(\\vec{v}(1) = (1)\\vec{i} + (1)\\vec{j}\\)","option_c":"C. \\(\\vec{v}(1) = (e)\\vec{i} + (0)\\vec{j}\\)","option_d":"D. \\(\\vec{v}(1) = (1)\\vec{i} + (0)\\vec{j}\\)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position : \\(\\vec{v}(t) = (e^t)\\vec{i} + (1\/t)\\vec{j}\\). À t = 1 s, \\(\\vec{v}(1) = (e)\\vec{i} + (1)\\vec{j}\\).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. \\\\(\\\\vec{v}(1) = (e)\\\\vec{i} + (1)\\\\vec{j}\\\\)\", \"b\": \"B. \\\\(\\\\","_debug_options_count":4},{"id":78863,"question":"Dans un mouvement rectiligne, le vecteur accélération est toujours colinéaire au vecteur vitesse.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai, car dans un mouvement rectiligne, les vecteurs vitesse et accélération ont la même direction (celle de la trajectoire).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":78864,"question":"Soit un mobile dont le vecteur position est \\(\\vec{r}(t) = (t^2 + 1)\\vec{i} + (2t^3 - t)\\vec{j}\\). Quel est son vecteur accélération à t = 1 s ?","option_a":"A. \\(\\vec{a}(1) = (2)\\vec{i} + (10)\\vec{j}\\)","option_b":"B. \\(\\vec{a}(1) = (2)\\vec{i} + (12)\\vec{j}\\)","option_c":"C. \\(\\vec{a}(1) = (4)\\vec{i} + (10)\\vec{j}\\)","option_d":"D. \\(\\vec{a}(1) = (2)\\vec{i} + (6)\\vec{j}\\)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le vecteur accélération est la dérivée seconde du vecteur position. On obtient d'abord \\(\\vec{v}(t) = (2t)\\vec{i} + (6t^2 - 1)\\vec{j}\\), puis \\(\\vec{a}(t) = (2)\\vec{i} + (12t)\\vec{j}\\). À t = 1 s, \\(\\vec{a}(1) = (2)\\vec{i} + (12)\\vec{j}\\).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"A. \\\\(\\\\vec{a}(1) = (2)\\\\vec{i} + (10)\\\\vec{j}\\\\)\", \"b\": \"B. \\\\(\\","_debug_options_count":4},{"id":78865,"question":"La norme du vecteur vitesse peut-elle être constante alors que sa direction change ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai, c'est le cas dans un mouvement circulaire uniforme où la vitesse a une norme constante mais une direction qui change en permanence.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]