Quiz — Sujet_corrigé_EF_ 20-21_Théorie spectrale des opérateurs.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":58899,"question":"Quel est le spectre ponctuel de l'opérateur identité I sur un espace de Hilbert ?","option_a":"L'ensemble vide","option_b":"{0}","option_c":"{1}","option_d":"L'espace entier","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Le spectre ponctuel de l'opérateur identité I est {1}, car pour tout λ ≠ 1, (λI - I) = (λ - 1)I est inversible (son inverse est (1\/(λ-1))I).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"L'ensemble vide\", \"b\": \"{0}\", \"c\": \"{1}\", \"d\": \"L'espace entier\"}","_debug_options_count":4},{"id":58900,"question":"Un opérateur compact peut-il avoir un spectre continu non vide ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Le spectre continu d'un opérateur compact est réduit à {0}, car les opérateurs compacts n'ont pas de spectre continu non trivial.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":58901,"question":"Quel théorème garantit l'existence d'une décomposition spectrale pour un opérateur auto-adjoint borné sur un espace de Hilbert ?","option_a":"Théorème de Banach-Alaoglu","option_b":"Théorème de Riesz-Fréchet","option_c":"Théorème spectral","option_d":"Théorème de Hahn-Banach","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Le théorème spectral garantit l'existence d'une décomposition spectrale pour un opérateur auto-adjoint borné, permettant de représenter l'opérateur comme une intégrale spectrale.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Théorème de Banach-Alaoglu\", \"b\": \"Théorème de Riesz-Fréchet","_debug_options_count":4},{"id":58902,"question":"Soit T un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert. Son spectre est-il toujours inclus dans ℝ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Pour un opérateur auto-adjoint T, le spectre est toujours inclus dans ℝ, car les valeurs propres sont réelles et le spectre continu est également réel.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":58903,"question":"Quel est le spectre de l'opérateur de multiplication par x sur L²([0,1]) ?","option_a":"L'ensemble vide","option_b":"{0}","option_c":"[0,1]","option_d":"ℝ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Le spectre de l'opérateur de multiplication par x est [0,1], car pour tout λ ∉ [0,1], (λI - T) est inversible (son inverse est la multiplication par 1\/(λ - x)).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"L'ensemble vide\", \"b\": \"{0}\", \"c\": \"[0,1]\", \"d\": \"ℝ\"}}","_debug_options_count":4},{"id":58904,"question":"Un opérateur normal est-il toujours auto-adjoint ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Un opérateur normal vérifie T*T = TT*, mais il n'est auto-adjoint que si T = T*. Par exemple, une rotation dans ℝ² est normale mais pas auto-adjointe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":58905,"question":"Quel est le spectre d'un opérateur nilpotent non nul ?","option_a":"L'ensemble vide","option_b":"{0}","option_c":"ℝ","option_d":"Un ensemble infini","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le spectre d'un opérateur nilpotent non nul est {0}, car pour tout λ ≠ 0, (λI - T) est inversible (son inverse est une série en T\/λ).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"L'ensemble vide\", \"b\": \"{0}\", \"c\": \"ℝ\", \"d\": \"Un ensemble infin","_debug_options_count":4},{"id":58906,"question":"Soit T un opérateur compact sur un espace de Hilbert. Si 0 n'est pas une valeur propre de T, alors T est-il inversible ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Si 0 n'est pas une valeur propre de T (opérateur compact), alors T est injectif et son image est fermée. Comme T est compact, son image est de dimension finie, donc T est inversible.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":58907,"question":"Quel est le spectre d'un opérateur de rang fini non nul ?","option_a":"L'ensemble vide","option_b":"{0}","option_c":"Un ensemble fini non réduit à {0}","option_d":"ℝ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Le spectre d'un opérateur de rang fini non nul est un ensemble fini non réduit à {0}, car il a un nombre fini de valeurs propres non nulles et 0 peut être une valeur propre.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"L'ensemble vide\", \"b\": \"{0}\", \"c\": \"Un ensemble fini non réduit ","_debug_options_count":4},{"id":58908,"question":"Un opérateur auto-adjoint peut-il avoir un spectre vide ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Le spectre d'un opérateur auto-adjoint sur un espace de Hilbert non trivial est toujours non vide, car il contient au moins les valeurs propres ou le spectre continu.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]