Quiz — Serie d'exercices suites réelles taki.pdf

Question 1 sur 5 10:00

[{"id":3509,"question":"Quelle est la limite de la suite définie par uₙ = (3n² + 2n - 1)\/(5n² - n + 4) lorsque n tend vers +∞ ?","option_a":"0","option_b":"3\/5","option_c":"1","option_d":"+∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Pour trouver la limite d'une suite rationnelle (polynôme sur polynôme), on divise le numérateur et le dénominateur par le terme dominant (ici n²). On obtient alors (3 + 2\/n - 1\/n²)\/(5 - 1\/n + 4\/n²), dont la limite est 3\/5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"3\/5\", \"c\": \"1\", \"d\": \"+∞\"}}","_debug_options_count":4},{"id":3510,"question":"Soit une suite (uₙ) définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = (uₙ + 4)\/2. Que peut-on dire de cette suite ?","option_a":"Elle est croissante et divergente","option_b":"Elle est décroissante et convergente vers 4","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle est oscillante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Cette suite est définie par récurrence avec une relation affine. On montre qu'elle est décroissante (car uₙ₊₁ \u003C uₙ pour tout n) et bornée (par 2 et 4). D'après le théorème de monotonie bornée, elle converge vers la solution de L = (L + 4)\/2, soit L = 4.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Elle est croissante et divergente\", \"b\": \"Elle est décroissante ","_debug_options_count":4},{"id":3511,"question":"Quel théorème permet d'affirmer que si (uₙ) et (vₙ) sont deux suites convergentes vers L et M respectivement, avec uₙ ≤ wₙ ≤ vₙ pour tout n, alors (wₙ) converge vers un certain réel ?","option_a":"Théorème de Pythagore","option_b":"Théorème des gendarmes","option_c":"Théorème de Bolzano-Weierstrass","option_d":"Théorème de la limite monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le théorème des gendarmes (ou théorème d'encadrement) stipule que si deux suites convergent vers la même limite et encadrent une troisième suite, alors cette dernière converge vers la même limite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Théorème de Pythagore\", \"b\": \"Théorème des gendarmes\", \"c\": \"","_debug_options_count":4},{"id":3512,"question":"Soit la suite (uₙ) définie par uₙ = (-1)ⁿ. Que vaut u₂₀₂₄ ?","option_a":"-1","option_b":"0","option_c":"1","option_d":"2024","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La suite (-1)ⁿ alterne entre -1 et 1 selon la parité de n. Pour n pair (comme 2024), uₙ = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"-1\", \"b\": \"0\", \"c\": \"1\", \"d\": \"2024\"}}","_debug_options_count":4},{"id":3513,"question":"Quelle est la nature de la suite définie par uₙ = n² - 5n + 6 pour n ≥ 0 ?","option_a":"Arithmétique","option_b":"Géométrique","option_c":"Ni l'un ni l'autre","option_d":"Constante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Une suite arithmétique a une différence constante entre deux termes consécutifs, et une suite géométrique a un rapport constant. Ici, uₙ₊₁ - uₙ = 2n - 4, qui dépend de n, donc la suite n'est ni arithmétique ni géométrique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Arithmétique\", \"b\": \"Géométrique\", \"c\": \"Ni l'un ni l'autre\", ","_debug_options_count":4}]