Quiz — Serie d_exercices Corrigés Suites réelles(2).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":4016,"question":"Soit la suite (u_n) définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = 2u_n + 1. Que peut-on dire de cette suite ?","option_a":"Elle est décroissante","option_b":"Elle est croissante","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle n'est pas monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"On calcule u_{n+1} - u_n = u_n + 1 \u003E 0 pour tout n, donc la suite est strictement croissante.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Elle est décroissante\", \"b\": \"Elle est croissante\", \"c\": \"Elle e","_debug_options_count":4},{"id":4017,"question":"Si une suite (u_n) vérifie u_n ≤ v_n pour tout n et que (v_n) converge vers 0, alors (u_n) converge aussi vers 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le théorème des gendarmes nécessite que les deux suites encadrent (u_n). Ici, seul un encadrement par en dessous est donné, ce qui ne suffit pas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":4018,"question":"Quelle est la limite de la suite (u_n) définie par u_n = (3n + 1)\/(2n - 5) ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"3\/2","option_d":"La suite diverge","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient u_n = (3 + 1\/n)\/(2 - 5\/n), donc lim u_n = 3\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"1\", \"c\": \"3\/2\", \"d\": \"La suite diverge\"}}","_debug_options_count":4},{"id":4019,"question":"Soit (u_n) une suite croissante et majorée. Que peut-on affirmer ?","option_a":"Elle converge vers sa borne supérieure","option_b":"Elle diverge vers +∞","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle est bornée mais pas forcément convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Toute suite croissante et majorée est convergente (théorème de la limite monotone), et sa limite est sa borne supérieure.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Elle converge vers sa borne supérieure\", \"b\": \"Elle diverge vers","_debug_options_count":4},{"id":4020,"question":"La suite (u_n) définie par u_n = (-1)^n est convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Cette suite alterne entre -1 et 1, donc elle n'admet pas de limite finie. Elle est divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":4021,"question":"Quelle méthode utiliser pour démontrer qu'une suite est convergente ?","option_a":"Étudier sa monotonie et ses bornes","option_b":"Calculer sa limite directement","option_c":"Comparer avec une suite connue","option_d":"Toutes les réponses sont correctes","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"d","explication":"Plusieurs méthodes existent : étude de la monotonie et des bornes, calcul direct de la limite, ou comparaison avec une suite de référence.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"d\", \"options\": {\"a\": \"Étudier sa monotonie et ses bornes\", \"b\": \"Calculer sa limite di","_debug_options_count":4},{"id":4022,"question":"Soit (u_n) une suite telle que u_{n+1} = u_n\/2 + 1 et u_0 = 0. Que vaut u_2 ?","option_a":"1","option_b":"1.5","option_c":"1.75","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"u_1 = 0\/2 + 1 = 1, u_2 = 1\/2 + 1 = 1.5. Attention à ne pas confondre u_2 et u_3 !","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"1\", \"b\": \"1.5\", \"c\": \"1.75\", \"d\": \"2\"}}","_debug_options_count":4},{"id":4023,"question":"Toute suite bornée est convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une suite bornée n'est pas forcément convergente (exemple : u_n = (-1)^n). Il faut en plus une condition de monotonie pour garantir la convergence.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":4024,"question":"Quelle est la limite de la suite (u_n) définie par u_n = n\/(n+1) ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"n","option_d":"La suite diverge","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient u_n = 1\/(1 + 1\/n), donc lim u_n = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"1\", \"c\": \"n\", \"d\": \"La suite diverge\"}}","_debug_options_count":4},{"id":4025,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_{n+1} = u_n^2 et u_0 = 0.5. Que peut-on dire de cette suite ?","option_a":"Elle est décroissante","option_b":"Elle est croissante","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle diverge vers +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"On montre par récurrence que u_n ≤ 1 pour tout n. Comme u_{n+1} = u_n^2 ≤ u_n (car u_n ≤ 1), la suite est décroissante et minorée par 0, donc convergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Elle est décroissante\", \"b\": \"Elle est croissante\", \"c\": \"Elle e","_debug_options_count":4}]