Quiz — série 9 dérivabilité - bijection.pdf

Question 1 sur 5 10:00

[{"id":1299,"question":"Soit f une fonction dérivable sur ℝ telle que f'(x) \u003E 0 pour tout x ∈ ℝ. Que peut-on conclure sur la fonction f ?","option_a":"f est constante","option_b":"f est strictement croissante","option_c":"f est strictement décroissante","option_d":"f est périodique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Si la dérivée d'une fonction est strictement positive sur un intervalle, alors la fonction est strictement croissante sur cet intervalle. C'est une conséquence directe du théorème de la dérivée et de la monotonie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f est constante\", \"b\": \"f est strictement croissante\", \"c\": \"f es","_debug_options_count":4},{"id":1300,"question":"La fonction f(x) = x³ - 3x + 2 est-elle bijective de ℝ vers ℝ ?","option_a":"Oui, car elle est continue et strictement croissante","option_b":"Non, car elle n'est pas injective","option_c":"Oui, car elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas","option_d":"Non, car elle n'est pas surjective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La fonction f(x) = x³ - 3x + 2 est continue et strictement croissante sur ℝ (car f'(x) = 3x² - 3 ≥ 0 et ne s'annule qu'en des points isolés), donc elle est bijective de ℝ vers ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car elle est continue et strictement croissante\", \"b\": \"Non,","_debug_options_count":4},{"id":1301,"question":"Soit f une fonction continue sur [a, b] telle que f(a) = -2 et f(b) = 3. Combien de solutions l'équation f(x) = 0 admet-elle au moins dans [a, b] ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"Au moins 1","option_d":"Au moins 2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"D'après le théorème des valeurs intermédiaires, comme f est continue sur [a, b] et que 0 est compris entre f(a) = -2 et f(b) = 3, il existe au moins un réel c ∈ [a, b] tel que f(c) = 0. Le nombre exact de solutions n'est pas déterminé.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"1\", \"c\": \"Au moins 1\", \"d\": \"Au moins 2\"}}","_debug_options_count":4},{"id":1302,"question":"Soit f(x) = x² - 4x + 5. Quel est le minimum de f sur ℝ ?","option_a":"f(0) = 5","option_b":"f(2) = 1","option_c":"f(4) = 5","option_d":"Aucun minimum","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction f(x) = x² - 4x + 5 est une parabole tournée vers le haut. Son sommet (minimum) est atteint en x = -b\/(2a) = 4\/2 = 2. f(2) = 2² - 4*2 + 5 = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f(0) = 5\", \"b\": \"f(2) = 1\", \"c\": \"f(4) = 5\", \"d\": \"Aucun minimum\"","_debug_options_count":4},{"id":1303,"question":"Soit f une fonction dérivable sur [a, b] telle que f(a) = f(b). Que peut-on conclure d'après le théorème de Rolle ?","option_a":"Il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0","option_b":"f est constante sur [a, b]","option_c":"f est périodique","option_d":"f est injective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le théorème de Rolle stipule que si une fonction est continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et si f(a) = f(b), alors il existe au moins un point c ∈ ]a, b[ où la dérivée s'annule (f'(c) = 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Il existe c ∈ ]a, b[ tel que f'(c) = 0\", \"b\": \"f est constante ","_debug_options_count":4}]