Quiz — Mines-Ponts MP 2017 (Document réponse).doc

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":59039,"question":"Soit une matrice carrée A d’ordre 3. Si A est diagonalisable, alors :","option_a":"A possède trois valeurs propres distinctes","option_b":"Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples","option_c":"A est inversible","option_d":"Le déterminant de A est non nul","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une matrice diagonalisable n’a pas nécessairement des valeurs propres distinctes (réponse A fausse). Elle peut être non inversible (réponse C fausse) ou avoir un déterminant nul (réponse D fausse). Le polynôme caractéristique doit être scindé pour permettre la diagonalisation.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"A possède trois valeurs propres distinctes\", \"b\": \"Le polynôme ","_debug_options_count":4},{"id":59040,"question":"La série entière ∑ (n=0 à ∞) (x^n \/ n!) converge pour tout x réel.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Cette série est la série exponentielle, qui converge pour tout x ∈ ℝ. Elle définit la fonction exponentielle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":59041,"question":"Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors :","option_a":"f est dérivable sur ]a, b[","option_b":"f est bornée sur [a, b]","option_c":"f est constante sur [a, b]","option_d":"f est uniformément continue sur [a, b]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Toute fonction continue sur un segment est bornée (théorème des bornes atteintes). Les autres propositions sont fausses : une fonction continue n’est pas forcément dérivable (ex: f(x)=|x|), ni constante, et l’uniforme continuité n’est pas garantie sans hypothèse supplémentaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f est dérivable sur ]a, b[\", \"b\": \"f est bornée sur [a, b]\", \"c","_debug_options_count":4},{"id":59042,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(μ, σ²). Alors :","option_a":"E(X) = σ²","option_b":"V(X) = μ","option_c":"P(X ≤ μ) = 0.5","option_d":"E(X²) = μ² + σ²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Pour une loi normale, la probabilité d’être inférieure à la moyenne μ est de 0.5 (symétrie). Les autres propositions sont fausses : E(X)=μ, V(X)=σ², et E(X²)=μ²+σ².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"E(X) = σ²\", \"b\": \"V(X) = μ\", \"c\": \"P(X ≤ μ) = 0.5\", \"d\": \"E","_debug_options_count":4},{"id":59043,"question":"L’équation différentielle y'' + y = 0 admet pour solution générale :","option_a":"y(x) = A e^x + B e^{-x}","option_b":"y(x) = A cos(x) + B sin(x)","option_c":"y(x) = A x + B","option_d":"y(x) = A ln(x) + B","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L’équation caractéristique r² + 1 = 0 a pour racines ±i, d’où la solution générale y(x) = A cos(x) + B sin(x). Les autres propositions ne satisfont pas l’équation.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"y(x) = A e^x + B e^{-x}\", \"b\": \"y(x) = A cos(x) + B sin(x)\", \"c\":","_debug_options_count":4},{"id":59044,"question":"Soit A une matrice symétrique réelle. Alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormée (théorème spectral).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":59045,"question":"Soit f une fonction de classe C² sur ℝ. Si f''(x) \u003E 0 pour tout x, alors :","option_a":"f est convexe sur ℝ","option_b":"f est concave sur ℝ","option_c":"f est constante","option_d":"f est périodique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Si la dérivée seconde est positive, la fonction est convexe. Les autres propositions sont fausses : une fonction convexe n’est pas forcément concave, constante ou périodique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"f est convexe sur ℝ\", \"b\": \"f est concave sur ℝ\", \"c\": \"f est","_debug_options_count":4},{"id":59046,"question":"Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 1 et 2 avec P(X=1)=0.3 et P(X=2)=0.7. Alors E(X) = :","option_a":"1.3","option_b":"1.7","option_c":"2","option_d":"0.7","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L’espérance est calculée par E(X) = 1×0.3 + 2×0.7 = 1.7. Les autres propositions sont incorrectes.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"1.3\", \"b\": \"1.7\", \"c\": \"2\", \"d\": \"0.7\"}}","_debug_options_count":4},{"id":59047,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_{n+1} = 2u_n - u_n² avec u_0 = 0.5. Alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La suite converge vers 1 (point fixe de la fonction f(x)=2x-x²).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":59048,"question":"Soit A une matrice carrée d’ordre n. Si det(A) ≠ 0, alors :","option_a":"A est diagonalisable","option_b":"A est inversible","option_c":"A est symétrique","option_d":"A est nilpotente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Les autres propositions ne sont pas nécessairement vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"A est diagonalisable\", \"b\": \"A est inversible\", \"c\": \"A est symé","_debug_options_count":4}]