Quiz — Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr. (auth.) - Counterexamples in Topology-Springer-Verlag New York (1978).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":77106,"question":"Parmi les espaces suivants, lequel est un exemple d'espace topologique non séparé (T1) mais séparé (T2) ?","option_a":"L'espace discret à 2 points","option_b":"L'espace de Sierpiński","option_c":"L'espace des réels avec la topologie usuelle","option_d":"L'espace {0,1} avec la topologie grossière","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'espace de Sierpiński (muni de la topologie {{}, {0}, {0,1}}) est T1 (les singletons sont fermés) mais n'est pas T2 car les points 0 et 1 n'ont pas de voisinages disjoints.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"L'espace discret à 2 points\", \"b\": \"L'espace de Sierpiński\", \"c","_debug_options_count":4},{"id":77107,"question":"Un espace topologique compact est toujours fermé dans un espace plus grand.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Un espace compact n'est pas nécessairement fermé : par exemple, l'intervalle [0,1[ est compact dans lui-même mais n'est pas fermé dans ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":77108,"question":"Quel est le contre-exemple classique d'un espace connexe mais non connexe par arcs ?","option_a":"Le cercle unité dans ℝ²","option_b":"La topologie du \"pinceau\" (pince de topologie)","option_c":"L'espace ℝ avec la topologie usuelle","option_d":"L'espace {0,1} avec la topologie discrète","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La topologie du pinceau (où les ouverts sont les ensembles contenant un point fixe et un ouvert de la topologie usuelle) est connexe mais non connexe par arcs.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Le cercle unité dans ℝ²\", \"b\": \"La topologie du \\\"pinceau\\\" (","_debug_options_count":4},{"id":77109,"question":"La propriété de compacité est préservée par les applications continues.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Si f : X → Y est une application continue et X est compact, alors f(X) est compact dans Y (théorème de l'image d'un compact par une application continue).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":77110,"question":"Parmi les espaces suivants, lequel est un exemple d'espace topologique localement compact mais non compact ?","option_a":"ℝ avec la topologie usuelle","option_b":"L'espace {0,1} avec la topologie discrète","option_c":"L'espace des rationnels ℚ avec la topologie induite","option_d":"L'espace compact [0,1]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"ℝ est localement compact (chaque point a un voisinage compact) mais n'est pas compact (il n'est pas recouvert par un nombre fini de compacts).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"ℝ avec la topologie usuelle\", \"b\": \"L'espace {0,1} avec la topo","_debug_options_count":4},{"id":77111,"question":"Un espace topologique peut être à la fois connexe et totalement discontinu.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Par exemple, l'espace des rationnels ℚ avec la topologie induite est connexe (il n'a pas de parties à la fois ouvertes et fermées non triviales) mais totalement discontinu (ses composantes connexes sont des singletons).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":77112,"question":"Quel est le contre-exemple d'un espace métrique complet mais non compact ?","option_a":"L'espace [0,1] avec la distance usuelle","option_b":"L'espace ℝ avec la distance usuelle","option_c":"L'espace {0,1} avec la distance discrète","option_d":"L'espace des polynômes à coefficients réels avec la norme ||P|| = sup|P(x)| sur [0,1]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"ℝ est un espace métrique complet (toute suite de Cauchy converge) mais non compact (il n'est pas recouvert par un nombre fini de boules de rayon 1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"L'espace [0,1] avec la distance usuelle\", \"b\": \"L'espace ℝ avec","_debug_options_count":4},{"id":77113,"question":"La propriété de connexité est préservée par les applications continues.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Si f : X → Y est une application continue et X est connexe, alors f(X) est connexe (théorème de l'image d'un connexe par une application continue).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":77114,"question":"Parmi les espaces suivants, lequel est un exemple d'espace topologique séparé (T2) mais non métrisable ?","option_a":"L'espace ℝ avec la topologie usuelle","option_b":"L'espace des nombres réels muni de la topologie de la limite inférieure","option_c":"L'espace de Sorgenfrey (ℝ avec la topologie des demi-intervalles [a,b[)","option_d":"L'espace {0,1} avec la topologie discrète","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"L'espace de Sorgenfrey est séparé (T2) mais n'est pas métrisable car il ne satisfait pas le premier axiome de dénombrabilité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"L'espace ℝ avec la topologie usuelle\", \"b\": \"L'espace des nombr","_debug_options_count":4},{"id":77115,"question":"Un espace topologique peut être à la fois compact et non séparé (T0).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Par exemple, l'espace de Sierpiński ({{}, {0}, {0,1}}) est compact (tout recouvrement ouvert admet un sous-recouvrement fini) mais n'est pas séparé (T0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]