Quiz — Exercices corrigés (Nombres réels, bornes supérieures et inferieures).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":90776,"question":"Soit l'ensemble A = {x ∈ ℝ | x² \u003C 4}. Quelle est la borne supérieure de A ?","option_a":"A. -2","option_b":"B. 2","option_c":"C. 4","option_d":"D. +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'ensemble A correspond à l'intervalle ouvert ]-2, 2[. Sa borne supérieure est 2, qui n'appartient pas à A mais est le plus petit des majorants de A.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"A. -2\", \"b\": \"B. 2\", \"c\": \"C. 4\", \"d\": \"D. +∞\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90777,"question":"Un ensemble non vide et majoré de ℝ admet toujours une borne supérieure.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est un résultat fondamental de l'analyse réelle : tout ensemble non vide et majoré de ℝ possède une borne supérieure (propriété de la borne supérieure).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90778,"question":"Soit B = {1\/n | n ∈ ℕ*}. Quelle est la borne inférieure de B ?","option_a":"A. 0","option_b":"B. 1","option_c":"C. -1","option_d":"D. +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'ensemble B est l'ensemble des inverses des entiers naturels non nuls. Sa borne inférieure est 0, qui n'appartient pas à B mais est le plus grand des minorants de B.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. 0\", \"b\": \"B. 1\", \"c\": \"C. -1\", \"d\": \"D. +∞\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90779,"question":"Si un ensemble A est borné, alors il admet à la fois une borne supérieure et une borne inférieure.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Un ensemble borné est à la fois majoré et minoré. Par la propriété de la borne supérieure, il admet donc une borne supérieure, et par symétrie, une borne inférieure.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90780,"question":"Soit C = {x ∈ ℝ | x \u003E 5}. Quelle affirmation est correcte ?","option_a":"A. C n'a pas de borne supérieure","option_b":"B. La borne supérieure de C est 5","option_c":"C. C est borné","option_d":"D. La borne inférieure de C est 5","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'ensemble C = ]5, +∞[ n'est pas majoré, donc il n'a pas de borne supérieure. Il est minoré par 5, qui est sa borne inférieure.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. C n'a pas de borne supérieure\", \"b\": \"B. La borne supérieure","_debug_options_count":4},{"id":90781,"question":"La borne supérieure d'un ensemble A est toujours un élément de A.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La borne supérieure d'un ensemble A n'appartient pas nécessairement à A. Par exemple, pour A = ]0,1[, la borne supérieure est 1 ∉ A.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90782,"question":"Soit D = {x ∈ ℝ | x² ≤ 9}. Quelle est la borne inférieure de D ?","option_a":"A. -3","option_b":"B. 3","option_c":"C. -9","option_d":"D. 0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'ensemble D correspond à l'intervalle fermé [-3, 3]. Sa borne inférieure est -3, qui appartient à D et est le plus grand des minorants de D.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. -3\", \"b\": \"B. 3\", \"c\": \"C. -9\", \"d\": \"D. 0\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90783,"question":"Un ensemble peut avoir une borne supérieure mais pas de borne inférieure.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"C'est possible. Par exemple, l'ensemble ]0, +∞[ a une borne inférieure (0) mais pas de borne supérieure (il n'est pas majoré).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90784,"question":"Soit E = {(-1)^n \/ n | n ∈ ℕ*}. Quelle est la borne supérieure de E ?","option_a":"A. 1","option_b":"B. 0","option_c":"C. -1","option_d":"D. +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"L'ensemble E alterne entre des valeurs positives et négatives. Sa borne supérieure est 1, atteinte lorsque n est pair. La suite converge vers 0, mais 1 reste la borne supérieure.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"A. 1\", \"b\": \"B. 0\", \"c\": \"C. -1\", \"d\": \"D. +∞\"}}","_debug_options_count":4},{"id":90785,"question":"La borne inférieure d'un ensemble A est toujours inférieure ou égale à tous les éléments de A.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Par définition, la borne inférieure d'un ensemble A est un minorant de A, c'est-à-dire un nombre inférieur ou égal à tous les éléments de A. Elle peut appartenir ou non à A.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]