Quiz — Devoir a la maison - Une bijection explicite entre les entiers et les rationnels.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":16739,"question":"Quelle propriété une fonction doit-elle vérifier pour être une bijection ?","option_a":"Injective uniquement","option_b":"Surjective uniquement","option_c":"Injective et surjective","option_d":"Ni injective ni surjective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Une bijection est une fonction qui est à la fois injective (chaque élément de l'ensemble de départ a une image unique) et surjective (tous les éléments de l'ensemble d'arrivée sont atteints).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Injective uniquement\", \"b\": \"Surjective uniquement\", \"c\": \"Inject","_debug_options_count":4},{"id":16740,"question":"L'ensemble des entiers naturels ℕ est-il dénombrable ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Oui, ℕ est dénombrable car on peut établir une bijection entre ℕ et lui-même (la fonction identité).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":16741,"question":"Quel est le cardinal de l'ensemble ℚ des nombres rationnels ?","option_a":"Fini","option_b":"Dénombrable","option_c":"Non dénombrable","option_d":"Indéfini","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"ℚ est dénombrable, car on peut construire une bijection entre ℕ et ℚ, comme le montre le devoir.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Fini\", \"b\": \"Dénombrable\", \"c\": \"Non dénombrable\", \"d\": \"Indéf","_debug_options_count":4},{"id":16742,"question":"La fonction f: ℕ → ℚ définie par f(n) = n\/1 est-elle une bijection ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Non, car cette fonction n'est pas surjective : elle ne couvre pas tous les rationnels (par exemple, 1\/2 n'est pas atteint).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":16743,"question":"Parmi les ensembles suivants, lequel est dénombrable ?","option_a":"ℝ (nombres réels)","option_b":"ℚ (nombres rationnels)","option_c":"ℙ (nombres irrationnels)","option_d":"ℂ (nombres complexes)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"ℚ est dénombrable, contrairement à ℝ, ℙ et ℂ qui sont non dénombrables.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"ℝ (nombres réels)\", \"b\": \"ℚ (nombres rationnels)\", \"c\": \"ℙ","_debug_options_count":4},{"id":16744,"question":"Si une fonction est injective mais pas surjective, peut-elle être une bijection ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Non, une bijection doit être à la fois injective et surjective. Une fonction injective mais pas surjective est appelée une injection.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":16745,"question":"La fonction f: ℕ → ℕ définie par f(n) = n+1 est-elle une bijection ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Non, car elle n'est pas surjective : 0 n'est pas dans l'image de f.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":16746,"question":"Quel théorème garantit l'existence d'une bijection entre deux ensembles infinis de même cardinal ?","option_a":"Théorème de Cantor-Bernstein","option_b":"Théorème de Pythagore","option_c":"Théorème de Thalès","option_d":"Théorème de Fermat","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Le théorème de Cantor-Bernstein (ou théorème de Cantor-Schröder-Bernstein) stipule que si deux ensembles A et B vérifient |A| ≤ |B| et |B| ≤ |A|, alors |A| = |B|, ce qui permet d'affirmer l'existence d'une bijection.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Théorème de Cantor-Bernstein\", \"b\": \"Théorème de Pythagore\", ","_debug_options_count":4},{"id":16747,"question":"La fonction f: ℚ → ℤ définie par f(p\/q) = p (où p\/q est sous forme irréductible) est-elle bien définie ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Non, car elle n'est pas bien définie : par exemple, f(1\/2) = 1 et f(2\/4) = 2, mais 1\/2 = 2\/4, ce qui viole l'unicité de l'image.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":16748,"question":"Parmi les propositions suivantes, laquelle décrit correctement une bijection entre ℕ et ℤ ?","option_a":"f(n) = n pour tout n ∈ ℕ","option_b":"f(n) = (-1)^n * n pour tout n ∈ ℕ","option_c":"f(n) = n\/2 si n pair, f(n) = -(n+1)\/2 si n impair","option_d":"f(n) = 2n pour tout n ∈ ℕ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La fonction f(n) = n\/2 si n pair et f(n) = -(n+1)\/2 si n impair est une bijection entre ℕ et ℤ. Elle alterne entre les entiers positifs et négatifs de manière exhaustive.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"f(n) = n pour tout n ∈ ℕ\", \"b\": \"f(n) = (-1)^n * n pour tout ","_debug_options_count":4}]