Quiz — Centrale-supélec MP 2008 (sujet).doc

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":132392,"question":"Soit une matrice carrée A d'ordre 2. Si A est diagonalisable, alors :","option_a":"A admet deux valeurs propres distinctes","option_b":"A est inversible","option_c":"Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples","option_d":"A est symétrique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Une matrice diagonalisable admet un polynôme caractéristique scindé (théorème de décomposition des noyaux). Les autres propositions ne sont pas toujours vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"A admet deux valeurs propres distinctes\", \"b\": \"A est inversible\"","_debug_options_count":4},{"id":132393,"question":"La série entière ∑(n=0 à ∞) x^n \/ n! converge pour tout x réel.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La série entière ∑(n=0 à ∞) x^n \/ n! est la série de Taylor de la fonction exponentielle, qui converge pour tout x ∈ ℝ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":132394,"question":"Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors :","option_a":"f est dérivable sur ]a, b[","option_b":"f est bornée sur [a, b]","option_c":"f est constante sur [a, b]","option_d":"f admet un minimum sur [a, b]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"D'après le théorème des bornes atteintes, une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Les autres propositions sont fausses.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f est dérivable sur ]a, b[\", \"b\": \"f est bornée sur [a, b]\", \"c","_debug_options_count":4},{"id":132395,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ \u003E 0. Alors E(X) = :","option_a":"λ","option_b":"1\/λ","option_c":"λ²","option_d":"e^(-λ)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'espérance d'une loi exponentielle de paramètre λ est E(X) = 1\/λ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"λ\", \"b\": \"1\/λ\", \"c\": \"λ²\", \"d\": \"e^(-λ)\"}}","_debug_options_count":4},{"id":132396,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = u_n \/ 2. Alors la suite (u_n) est :","option_a":"Croissante","option_b":"Décroissante","option_c":"Constante","option_d":"Non monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La suite est décroissante car u_{n+1} = u_n \/ 2 \u003C u_n pour tout n ≥ 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Croissante\", \"b\": \"Décroissante\", \"c\": \"Constante\", \"d\": \"Non mo","_debug_options_count":4},{"id":132397,"question":"Soit A une matrice carrée d'ordre 3. Si det(A) = 0, alors :","option_a":"A est inversible","option_b":"A est diagonalisable","option_c":"Le noyau de A est non trivial","option_d":"A est symétrique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Si det(A) = 0, alors A n'est pas inversible et son noyau est non trivial (théorème du rang). Les autres propositions ne sont pas nécessairement vraies.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"A est inversible\", \"b\": \"A est diagonalisable\", \"c\": \"Le noyau de","_debug_options_count":4},{"id":132398,"question":"Soit f une fonction de classe C^1 sur ℝ. Si f'(x) = 0 pour tout x ∈ ℝ, alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Si f'(x) = 0 pour tout x ∈ ℝ, alors f est constante (théorème des accroissements finis).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":132399,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(μ, σ²). Alors la variance de X est :","option_a":"μ","option_b":"σ","option_c":"σ²","option_d":"μ²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La variance d'une loi normale N(μ, σ²) est σ².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"μ\", \"b\": \"σ\", \"c\": \"σ²\", \"d\": \"μ²\"}}","_debug_options_count":4},{"id":132400,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_0 = 0 et u_{n+1} = √(u_n + 1). Alors la suite (u_n) est :","option_a":"Décroissante","option_b":"Croissante","option_c":"Constante","option_d":"Non monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La suite est croissante car u_{n+1} = √(u_n + 1) \u003E u_n pour tout n ≥ 0 (par récurrence).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Décroissante\", \"b\": \"Croissante\", \"c\": \"Constante\", \"d\": \"Non mo","_debug_options_count":4},{"id":132401,"question":"Soit A une matrice carrée d'ordre 2. Si A est symétrique, alors :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une matrice symétrique vérifie A = A^T. Cette propriété est toujours vraie par définition.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]