Quiz — Centrale_2007_PSI_M2_Corrige.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":184130,"question":"Soit une matrice carrée A d'ordre n. Si A est diagonalisable, alors :","option_a":"A possède n valeurs propres distinctes","option_b":"Le polynôme caractéristique de A est scindé à racines simples","option_c":"A est semblable à une matrice diagonale","option_d":"A est inversible","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Une matrice est diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale (définition). Les autres propositions ne sont pas toujours vraies (exemple : matrice identité avec des valeurs propres multiples).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"A possède n valeurs propres distinctes\", \"b\": \"Le polynôme cara","_debug_options_count":4},{"id":184131,"question":"La série de terme général 1\/n^2 converge.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La série de Riemann Σ 1\/n^α converge si et seulement si α \u003E 1. Ici, α = 2 \u003E 1, donc la série converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":184132,"question":"Soit f une fonction de classe C^1 sur [a,b]. Alors :","option_a":"f est bornée sur [a,b]","option_b":"f est uniformément continue sur [a,b]","option_c":"f est dérivable sur ]a,b[","option_d":"f est intégrable sur [a,b]","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une fonction de classe C^1 sur un segment est uniformément continue (théorème de Heine). Les autres propositions sont fausses (exemple : f(x) = 1\/x sur [0,1] n'est pas bornée).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f est bornée sur [a,b]\", \"b\": \"f est uniformément continue sur ","_debug_options_count":4},{"id":184133,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ \u003E 0. Alors E(X) = :","option_a":"λ","option_b":"1\/λ","option_c":"λ^2","option_d":"1\/λ^2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Pour une loi exponentielle de paramètre λ, l'espérance est E(X) = 1\/λ (formule du cours).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"λ\", \"b\": \"1\/λ\", \"c\": \"λ^2\", \"d\": \"1\/λ^2\"}}","_debug_options_count":4},{"id":184134,"question":"Soit A une matrice antisymétrique. Alors tr(A) = 0.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La trace d'une matrice antisymétrique est toujours nulle car tr(A) = tr(-A^T) = -tr(A^T) = -tr(A), donc tr(A) = 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":184135,"question":"Soit (u_n) une suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = √(2 + u_n). Alors :","option_a":"La suite est décroissante","option_b":"La suite converge vers 2","option_c":"La suite est non bornée","option_d":"La suite est constante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La suite est croissante et majorée par 2, donc elle converge vers 2 (point fixe de la fonction x ↦ √(2 + x)).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"La suite est décroissante\", \"b\": \"La suite converge vers 2\", \"c\"","_debug_options_count":4},{"id":184136,"question":"Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Si f(a) = f(b), alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f'(c) = 0 (théorème de Rolle).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est l'énoncé exact du théorème de Rolle, valable sous les hypothèses données.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":184137,"question":"Soit A une matrice carrée inversible. Alors det(A^2) = :","option_a":"det(A)^2","option_b":"2*det(A)","option_c":"det(A)^(-1)","option_d":"1\/det(A)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"det(A^2) = det(A * A) = det(A) * det(A) = det(A)^2 (propriété du déterminant).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"det(A)^2\", \"b\": \"2*det(A)\", \"c\": \"det(A)^(-1)\", \"d\": \"1\/det(A)\"}}","_debug_options_count":4},{"id":184138,"question":"Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Alors P(-1 ≤ X ≤ 1) ≈ :","option_a":"0.34","option_b":"0.68","option_c":"0.95","option_d":"0.99","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Pour une loi normale centrée réduite, environ 68% des valeurs sont dans l'intervalle [-1,1], soit P(-1 ≤ X ≤ 1) ≈ 0.68.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"0.34\", \"b\": \"0.68\", \"c\": \"0.95\", \"d\": \"0.99\"}}","_debug_options_count":4},{"id":184139,"question":"Soit (E, \u003C.,.\u003E) un espace euclidien et u un endomorphisme de E. Si u est orthogonal, alors :","option_a":"u est diagonalisable","option_b":"u préserve la norme","option_c":"u est symétrique","option_d":"u est nilpotent","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Un endomorphisme orthogonal préserve la norme (définition : ||u(x)|| = ||x|| pour tout x ∈ E). Les autres propositions sont fausses en général.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"u est diagonalisable\", \"b\": \"u préserve la norme\", \"c\": \"u est s","_debug_options_count":4}]