Quiz — bv_cvxbook.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":73240,"question":"Quelle est la définition d’une fonction convexe ?","option_a":"Une fonction dont le graphe est une droite.","option_b":"Une fonction dont le graphe est situé en dessous de toutes ses cordes.","option_c":"Une fonction dont le graphe est situé au-dessus de toutes ses cordes.","option_d":"Une fonction dont le graphe est une parabole.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une fonction est convexe si, pour tout couple de points du graphe, le segment les reliant est situé au-dessus de la courbe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Une fonction dont le graphe est une droite.\", \"b\": \"Une fonction ","_debug_options_count":4},{"id":73241,"question":"Une fonction linéaire est-elle convexe ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une fonction linéaire est à la fois convexe et concave, car son graphe est une droite (segment reliant deux points quelconques est confondu avec la courbe).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":73242,"question":"Parmi ces fonctions, laquelle est concave sur ℝ ?","option_a":"f(x) = x²","option_b":"f(x) = -x²","option_c":"f(x) = x","option_d":"f(x) = |x|","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction f(x) = -x² est concave car son graphe est une parabole tournée vers le bas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f(x) = x²\", \"b\": \"f(x) = -x²\", \"c\": \"f(x) = x\", \"d\": \"f(x) = |x","_debug_options_count":4},{"id":73243,"question":"Si f est convexe sur un intervalle, alors f''(x) est :","option_a":"Nulle","option_b":"Positive","option_c":"Négative","option_d":"Indéterminée","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Si f est deux fois dérivable et convexe, alors sa dérivée seconde f''(x) est positive sur l’intervalle considéré.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Nulle\", \"b\": \"Positive\", \"c\": \"Négative\", \"d\": \"Indéterminée\"}","_debug_options_count":4},{"id":73244,"question":"Une fonction exponentielle est-elle convexe ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La fonction exponentielle f(x) = eˣ est convexe car sa dérivée seconde est toujours positive (f''(x) = eˣ \u003E 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":73245,"question":"Quelle propriété est vérifiée par une fonction convexe f sur un intervalle ?","option_a":"f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y) pour tout λ ∈ [0,1]","option_b":"f(λx + (1-λ)y) ≥ λf(x) + (1-λ)f(y) pour tout λ ∈ [0,1]","option_c":"f(λx + (1-λ)y) = λf(x) + (1-λ)f(y) pour tout λ ∈ [0,1]","option_d":"Aucune des réponses ci-dessus","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une fonction convexe vérifie l’inégalité f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y) pour tout λ ∈ [0,1] (inégalité de convexité).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y) pour tout λ ∈ [0,1]\",","_debug_options_count":4},{"id":73246,"question":"La fonction f(x) = x³ est-elle convexe sur ℝ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction f(x) = x³ n’est pas convexe sur ℝ car sa dérivée seconde f''(x) = 6x change de signe (nulle en x=0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":73247,"question":"Quelle est la dérivée seconde de la fonction f(x) = x⁴ ?","option_a":"12x²","option_b":"4x³","option_c":"12x","option_d":"0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La dérivée première est f'(x) = 4x³, et la dérivée seconde est f''(x) = 12x².","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"12x²\", \"b\": \"4x³\", \"c\": \"12x\", \"d\": \"0\"}}","_debug_options_count":4},{"id":73248,"question":"Si f est concave sur un intervalle, alors pour tout x et y dans cet intervalle :","option_a":"f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)","option_b":"f(λx + (1-λ)y) ≥ λf(x) + (1-λ)f(y)","option_c":"f(λx + (1-λ)y) = λf(x) + (1-λ)f(y)","option_d":"Aucune des réponses ci-dessus","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une fonction concave vérifie l’inégalité f(λx + (1-λ)y) ≥ λf(x) + (1-λ)f(y) pour tout λ ∈ [0,1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f(λx + (1-λ)y) ≤ λf(x) + (1-λ)f(y)\", \"b\": \"f(λx + (1-λ)y)","_debug_options_count":4},{"id":73249,"question":"La fonction f(x) = √x est-elle convexe sur [0, +∞[ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction f(x) = √x est convexe sur [0, +∞[ car sa dérivée seconde f''(x) = -1\/(4x^(3\/2)) est négative (attention : erreur dans l'explication précédente, la dérivée seconde est négative, donc la fonction est concave). Correction : La fonction √x est concave sur [0, +∞[ car f''(x) \u003C 0. Réponse correcte : Faux.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]