Quiz — 6 - Famille Libre ,Lée ,Géneratrice ( II ).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":82867,"question":"Soit une famille de vecteurs {v1, v2} dans un espace vectoriel. Si 3v1 - 2v2 = 0, alors la famille est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La famille est liée car il existe une combinaison linéaire non triviale (3v1 - 2v2 = 0) qui donne le vecteur nul.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Libre\", \"b\": \"Lié\", \"c\": \"Génératrice\", \"d\": \"Une base\"}}","_debug_options_count":4},{"id":82868,"question":"Une famille de vecteurs est génératrice si :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Une famille génératrice permet d'exprimer tout vecteur de l'espace comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":82869,"question":"Dans ℝ³, la famille {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} est :","option_a":"Libre mais non génératrice","option_b":"Lié et génératrice","option_c":"Libre et génératrice","option_d":"Ni libre ni génératrice","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Cette famille est libre (aucun vecteur n'est combinaison linéaire des autres) et génératrice (elle engendre tout ℝ³).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Libre mais non génératrice\", \"b\": \"Lié et génératrice\", \"c\":","_debug_options_count":4},{"id":82870,"question":"Soit la famille {(1,2), (2,4)} dans ℝ². Cette famille est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La famille est liée car (2,4) = 2*(1,2). Les deux vecteurs sont colinéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Libre\", \"b\": \"Lié\", \"c\": \"Génératrice\", \"d\": \"Une base\"}}","_debug_options_count":4},{"id":82871,"question":"Une famille de vecteurs est une base si elle est à la fois libre et génératrice.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Une base est une famille libre et génératrice qui permet de représenter tous les vecteurs de l'espace de manière unique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":82872,"question":"Dans ℝ², la famille {(1,0), (0,1), (1,1)} est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La famille est liée car (1,1) = (1,0) + (0,1). Elle n'est donc pas libre.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Libre\", \"b\": \"Lié\", \"c\": \"Génératrice\", \"d\": \"Une base\"}}","_debug_options_count":4},{"id":82873,"question":"Soit la famille {(1,1,0), (0,1,1)} dans ℝ³. Cette famille est :","option_a":"Libre et génératrice","option_b":"Libre mais non génératrice","option_c":"Lié et génératrice","option_d":"Ni libre ni génératrice","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La famille est libre (les vecteurs ne sont pas colinéaires) mais non génératrice car elle n'engendre pas tout ℝ³ (par exemple, (1,0,0) ne peut pas s'exprimer avec ces deux vecteurs).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Libre et génératrice\", \"b\": \"Libre mais non génératrice\", \"c\"","_debug_options_count":4},{"id":82874,"question":"Si une famille contient le vecteur nul, alors elle est automatiquement liée.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai. Le vecteur nul peut toujours s'exprimer comme combinaison linéaire des autres vecteurs (avec tous les coefficients nuls), ce qui rend la famille liée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":82875,"question":"Dans ℝ⁴, la famille {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} est :","option_a":"Libre mais non génératrice","option_b":"Lié et génératrice","option_c":"Libre et génératrice","option_d":"Ni libre ni génératrice","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Cette famille est libre (les vecteurs sont linéairement indépendants) et génératrice (elle engendre tout ℝ⁴).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Libre mais non génératrice\", \"b\": \"Lié et génératrice\", \"c\":","_debug_options_count":4},{"id":82876,"question":"Soit la famille {(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)} dans ℝ³. Cette famille est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La famille est liée car les vecteurs sont linéairement dépendants (le troisième vecteur est une combinaison linéaire des deux premiers).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Libre\", \"b\": \"Lié\", \"c\": \"Génératrice\", \"d\": \"Une base\"}}","_debug_options_count":4}]