Quiz — 3-Série de Riemann alternée Correction.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":70707,"question":"Parmi les séries suivantes, laquelle est une série alternée ?","option_a":"Σ (1\/n)","option_b":"Σ (-1)^n \/ n","option_c":"Σ n^2","option_d":"Σ (-1)^n * n","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une série alternée est une série dont les termes changent de signe alternativement. Ici, seul Σ (-1)^n \/ n correspond à cette définition.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Σ (1\/n)\", \"b\": \"Σ (-1)^n \/ n\", \"c\": \"Σ n^2\", \"d\": \"Σ (-1)^n *","_debug_options_count":4},{"id":70708,"question":"Le critère de Leibniz s'applique si la suite (a_n) est :","option_a":"Croissante et tend vers l'infini","option_b":"Décroissante et tend vers 0","option_c":"Constante et non nulle","option_d":"Décroissante et tend vers l'infini","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le critère de Leibniz nécessite que la suite (a_n) soit décroissante et que sa limite soit 0 pour garantir la convergence de la série alternée Σ (-1)^n * a_n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Croissante et tend vers l'infini\", \"b\": \"Décroissante et tend ve","_debug_options_count":4},{"id":70709,"question":"Vrai ou Faux : La série Σ (-1)^n \/ n^2 converge absolument.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La série Σ (-1)^n \/ n^2 converge absolument car la série Σ 1\/n^2 (série de Riemann p=2) converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":70710,"question":"Quelle est la somme de la série alternée Σ (-1)^n \/ (n+1) pour n allant de 0 à l'infini ?","option_a":"ln(2)","option_b":"π\/4","option_c":"1","option_d":"0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Cette série est une série alternée convergente dont la somme est égale à ln(2), comme le montre le développement en série de Taylor de ln(1+x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"ln(2)\", \"b\": \"π\/4\", \"c\": \"1\", \"d\": \"0\"}}","_debug_options_count":4},{"id":70711,"question":"Vrai ou Faux : Si une série alternée converge, alors elle converge absolument.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une série alternée peut converger sans converger absolument. Par exemple, la série Σ (-1)^n \/ n converge (critère de Leibniz), mais Σ 1\/n diverge (série harmonique).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":70712,"question":"Parmi les affirmations suivantes, laquelle est correcte pour une série alternée convergente ?","option_a":"La suite des sommes partielles est toujours croissante","option_b":"Le reste d'ordre n est majoré par |a_{n+1}|","option_c":"La série converge vers une valeur négative","option_d":"La suite (a_n) doit être croissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"La suite des sommes partielles est toujours croissante\", \"b\": \"Le","_debug_options_count":4},{"id":70713,"question":"Quelle est la nature de la série Σ (-1)^n * (n\/(n+1)) ?","option_a":"Convergente","option_b":"Divergente","option_c":"Convergente absolument","option_d":"Oscillante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La série Σ (-1)^n * (n\/(n+1)) diverge car le terme général (-1)^n * (n\/(n+1)) ne tend pas vers 0 (il tend vers ±1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Convergente\", \"b\": \"Divergente\", \"c\": \"Convergente absolument\", \"","_debug_options_count":4},{"id":70714,"question":"Vrai ou Faux : Le critère de Leibniz permet de déterminer la somme exacte d'une série alternée convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le critère de Leibniz permet uniquement de prouver la convergence d'une série alternée. Il ne donne pas la valeur exacte de la somme.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":70715,"question":"Pour étudier la convergence de la série Σ (-1)^n * (1\/√n), quel critère utilise-t-on ?","option_a":"Critère de d'Alembert","option_b":"Critère de Cauchy","option_c":"Critère de Leibniz","option_d":"Critère de comparaison","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Cette série est une série alternée. On applique le critère de Leibniz car la suite (1\/√n) est décroissante et tend vers 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Critère de d'Alembert\", \"b\": \"Critère de Cauchy\", \"c\": \"Critèr","_debug_options_count":4},{"id":70716,"question":"Quelle est la limite de la suite des sommes partielles S_n = Σ (-1)^k \/ k pour n allant de 0 à l'infini ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"ln(2)","option_d":"π\/4","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La série Σ (-1)^n \/ n converge vers ln(2), comme le montre le développement en série de Taylor de ln(1+x) pour x=1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"1\", \"c\": \"ln(2)\", \"d\": \"π\/4\"}}","_debug_options_count":4}]