Théorème de Convergence Dominée : Testez vos connaissances !

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[{"id":1110,"question":"Quel énoncé correspond au théorème de convergence dominée de Lebesgue ?","option_a":"Si une suite de fonctions converge simplement et est dominée par une fonction intégrable, alors on peut permuter limite et intégrale.","option_b":"Si une suite de fonctions converge uniformément et est bornée, alors on peut permuter limite et intégrale.","option_c":"Si une suite de fonctions converge simplement et est croissante, alors on peut permuter limite et intégrale.","option_d":"Si une suite de fonctions converge presque partout et est dominée par une fonction intégrable, alors on peut permuter limite et intégrale.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"Le théorème de convergence dominée de Lebesgue exige une convergence simple presque partout et une domination par une fonction intégrable pour permettre la permutation de la limite et de l'intégrale.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1111,"question":"Quelle condition est nécessaire pour appliquer le théorème de convergence dominée ?","option_a":"La suite de fonctions doit être croissante.","option_b":"La suite de fonctions doit être dominée par une fonction intégrable.","option_c":"La suite de fonctions doit converger uniformément.","option_d":"La suite de fonctions doit être bornée.","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La domination par une fonction intégrable est une condition sine qua non du théorème de convergence dominée de Lebesgue.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1112,"question":"Soit (fₙ) une suite de fonctions intégrables convergeant simplement vers f presque partout. Si |fₙ| ≤ g pour tout n, où g est intégrable, alors :","option_a":"∫fₙ → ∫f quand n→∞","option_b":"fₙ converge uniformément vers f","option_c":"La suite (fₙ) est bornée","option_d":"∫|fₙ| → ∫|f| quand n→∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le théorème de convergence dominée garantit que ∫fₙ → ∫f quand n→∞ sous les conditions données.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1113,"question":"Calculer limₙ→∞ ∫₀¹ n xⁿ (1 - x) dx. Que vaut cette limite ?","option_a":"0","option_b":"1\/2","option_c":"1","option_d":"∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En appliquant le théorème de convergence dominée avec fₙ(x) = n xⁿ (1 - x), on montre que la limite vaut 1\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1114,"question":"Quelle fonction peut dominer la suite fₙ(x) = xⁿ sur [0,1] ?","option_a":"g(x) = 1","option_b":"g(x) = x","option_c":"g(x) = 1\/(1-x)","option_d":"g(x) = e^x","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La fonction constante g(x) = 1 domine la suite fₙ(x) = xⁿ sur [0,1] car |xⁿ| ≤ 1 pour tout x ∈ [0,1] et tout n.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]