Quiz : Maîtrisez les séries numériques en Terminale Mathématiques

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":9413,"question":"Quelle série est convergente parmi les suivantes ?","option_a":"A. Σ (1\/n)","option_b":"B. Σ (1\/n²)","option_c":"C. Σ (n)","option_d":"D. Σ (1\/√n)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série Σ (1\/n²) est une série de Riemann convergente (p=2\u003E1). Les autres séries sont divergentes (série harmonique, série linéaire, série p avec p=1\/2\u003C1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9414,"question":"Le critère de d'Alembert s'applique-t-il à la série Σ (n! \/ 2ⁿ) ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. La série est à termes positifs et le rapport (n+1)!\/2^(n+1) \/ (n!\/2ⁿ) = (n+1)\/2 tend vers l'infini, donc la série diverge par le critère de d'Alembert.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9415,"question":"Pour étudier la convergence de Σ (sin(n)\/n²), quel critère utilisez-vous ?","option_a":"A. Critère de comparaison","option_b":"B. Critère de Cauchy","option_c":"C. Critère de Leibniz","option_d":"D. Critère de d'Alembert","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"On utilise le critère de comparaison car |sin(n)\/n²| ≤ 1\/n², et Σ (1\/n²) est convergente (série de Riemann).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9416,"question":"La série Σ ((-1)ⁿ \/ n) est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. C'est une série alternée qui vérifie le critère de Leibniz (termes décroissants en valeur absolue et tendant vers 0), donc elle converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9417,"question":"Si lim (u_{n+1}\/u_n) = 1, que peut-on conclure sur la série Σ u_n ?","option_a":"A. La série converge","option_b":"B. La série diverge","option_c":"C. Le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure","option_d":"D. La série est alternée","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le critère de d'Alembert ne permet pas de conclure si la limite vaut 1. Il faut utiliser un autre critère (comparaison, intégrale, etc.).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9418,"question":"La série Σ (1\/(n ln n)) converge-t-elle ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. C'est une série de Bertrand divergente (p=1 et q=1). On peut le montrer par comparaison avec une intégrale impropre divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9419,"question":"Quelle est la nature de la série Σ (n² \/ 3ⁿ) ?","option_a":"A. Convergente","option_b":"B. Divergente","option_c":"C. Semi-convergente","option_d":"D. Oscillante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série est convergente. On peut appliquer le critère de d'Alembert : lim (u_{n+1}\/u_n) = lim ((n+1)² \/ 3^(n+1)) * (3ⁿ \/ n²) = 1\/3 \u003C 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9420,"question":"Le critère de Cauchy (racine n-ième) s'applique-t-il à toute série ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Le critère de Cauchy ne s'applique qu'aux séries à termes positifs. Pour les séries à termes quelconques, il faut utiliser d'autres méthodes.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9421,"question":"Pour la série Σ (1\/n - 1\/(n+1)), que vaut la somme partielle S_n ?","option_a":"A. S_n = 1 - 1\/(n+1)","option_b":"B. S_n = 1\/n","option_c":"C. S_n = n","option_d":"D. S_n = 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série est télescopique : S_n = (1 - 1\/2) + (1\/2 - 1\/3) + ... + (1\/n - 1\/(n+1)) = 1 - 1\/(n+1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9422,"question":"Si une série Σ u_n converge absolument, que peut-on dire de sa convergence simple ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. La convergence absolue implique la convergence simple (théorème de comparaison des séries).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]