Maîtrisez les suites en Terminale : Limites, récurrence et convergence

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":22258,"question":"Quelle est la limite de la suite définie par uₙ = (3n² + 2n - 1)\/(n² + 5) ?","option_a":"A. 0","option_b":"B. 3","option_c":"C. +∞","option_d":"D. La suite diverge","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n², on obtient uₙ = (3 + 2\/n - 1\/n²)\/(1 + 5\/n²). Quand n tend vers +∞, les termes en 1\/n et 1\/n² tendent vers 0, donc la limite est 3\/1 = 3.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22259,"question":"La suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ - 1 est-elle croissante ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Calculons u₁ = 2*1 - 1 = 1, u₂ = 2*1 - 1 = 1. La suite est constante (donc non croissante).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22260,"question":"Soit une suite (uₙ) telle que pour tout n, uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et lim(uₙ) = lim(wₙ) = L. Que peut-on dire de la suite (vₙ) ?","option_a":"A. Elle converge vers L","option_b":"B. Elle diverge","option_c":"C. On ne peut pas conclure","option_d":"D. Elle est bornée mais pas convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"D'après le théorème des gendarmes, si uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et lim(uₙ) = lim(wₙ) = L, alors lim(vₙ) = L.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22261,"question":"La suite définie par uₙ = (-1)ⁿ est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La suite oscille entre -1 et 1 et n'admet pas de limite finie. Elle est donc divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22262,"question":"Pour démontrer par récurrence qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀, quelle étape est indispensable ?","option_a":"A. Vérifier P(n₀)","option_b":"B. Supposer P(n) vraie et montrer P(n+1)","option_c":"C. Les deux étapes A et B","option_d":"D. Aucune des deux","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La démonstration par récurrence nécessite deux étapes : l'initialisation (vérification de P(n₀)) et l'hérédité (passage de P(n) à P(n+1)).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22263,"question":"Quelle est la limite de la suite géométrique uₙ = 5 * (1\/2)ⁿ ?","option_a":"A. 0","option_b":"B. 5","option_c":"C. +∞","option_d":"D. -∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Une suite géométrique de raison |q| \u003C 1 converge vers 0. Ici, q = 1\/2, donc lim(uₙ) = 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22264,"question":"Soit une suite (uₙ) croissante et majorée. Que peut-on affirmer ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"D'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante et majorée est convergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22265,"question":"La suite définie par uₙ = n² - 5n + 6 est-elle minorée ?","option_a":"A. Oui, par 0","option_b":"B. Non","option_c":"C. Oui, par -∞","option_d":"D. On ne peut pas savoir","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite uₙ = n² - 5n + 6 est un polynôme du second degré de coefficient dominant positif. Son minimum est atteint en n = 2.5 et vaut u₂.5 = -0.25. Elle est donc minorée par -0.25.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22266,"question":"Si lim(uₙ) = +∞ et lim(vₙ) = -∞, que peut-on dire de lim(uₙ + vₙ) ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La limite de la somme est indéterminée. Par exemple, uₙ = n et vₙ = -n donnent uₙ + vₙ = 0 (convergent), tandis que uₙ = n et vₙ = -2n donnent uₙ + vₙ = -n (divergent vers -∞).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":22267,"question":"Quelle est la nature de la suite définie par u₀ = 2 et uₙ₊₁ = √(uₙ + 3) ?","option_a":"A. Arithmétique","option_b":"B. Géométrique","option_c":"C. Récurrente non linéaire","option_d":"D. Constante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La suite est définie par une relation de récurrence non linéaire (avec une racine carrée). Elle n'est ni arithmétique ni géométrique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]