Suites extraites : Convergence et théorèmes clés

Question 1 sur 5 10:00

[{"id":1415,"question":"Soit une suite (uₙ) telle que pour tout n, uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ et lim(uₙ) = lim(wₙ) = L. Que peut-on dire de la limite de (vₙ) ?","option_a":"La suite (vₙ) diverge nécessairement","option_b":"La suite (vₙ) converge vers L","option_c":"La suite (vₙ) n'a pas de limite","option_d":"On ne peut rien conclure","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"C'est le \u003Cstrong\u003Ethéorème des gendarmes\u003C\/strong\u003E : si deux suites convergent vers la même limite L et encadrent une troisième suite, alors cette dernière converge aussi vers L.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1416,"question":"Une suite (uₙ) est croissante et majorée. Que peut-on affirmer sur sa limite ?","option_a":"Elle diverge vers +∞","option_b":"Elle converge vers une limite finie","option_c":"Elle n'a pas de limite","option_d":"Elle est bornée mais pas monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Toute suite \u003Cstrong\u003Ecroissante et majorée\u003C\/strong\u003E est convergente (théorème de la limite monotone). Sa limite est la borne supérieure de la suite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1417,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que uₙ = (-1)ⁿ \/ n. Que vaut lim(uₙ) ?","option_a":"La suite diverge","option_b":"lim(uₙ) = 0","option_c":"lim(uₙ) = 1","option_d":"lim(uₙ) = -1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La suite (uₙ) est bornée par |uₙ| ≤ 1\/n, et 1\/n tend vers 0. Par le théorème des gendarmes, uₙ tend aussi vers 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1418,"question":"Soit (uₙ) une suite extraite de (vₙ). Si (vₙ) converge vers L, que peut-on dire de (uₙ) ?","option_a":"(uₙ) diverge toujours","option_b":"(uₙ) converge vers L","option_c":"(uₙ) n'a pas de limite","option_d":"On ne peut rien dire","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Toute suite extraite d'une suite convergente vers L converge aussi vers L (propriété fondamentale des suites convergentes).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":1419,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que uₙ = n \/ (n + 1). Que vaut lim(uₙ) ?","option_a":"lim(uₙ) = 0","option_b":"lim(uₙ) = 1","option_c":"lim(uₙ) diverge","option_d":"lim(uₙ) = -1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient uₙ = 1 \/ (1 + 1\/n). Comme 1\/n tend vers 0, lim(uₙ) = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]