Maîtrisez les suites extraites : 10 questions pour le bac

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":14358,"question":"Soit une suite (uₙ) qui converge vers L. Quelle affirmation est vraie pour toute suite extraite (u_{φ(n)}) ?","option_a":"La suite extraite converge vers une limite différente de L","option_b":"La suite extraite converge vers L","option_c":"La suite extraite diverge toujours","option_d":"La suite extraite peut converger vers n'importe quelle valeur","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Si une suite (uₙ) converge vers L, alors toute suite extraite (u_{φ(n)}) converge également vers L, car la convergence est préservée par extraction de sous-suites.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14359,"question":"La suite (uₙ) définie par uₙ = (-1)ⁿ est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La suite (uₙ) = (-1)ⁿ n'est pas convergente car elle oscille indéfiniment entre -1 et 1. Cependant, elle admet deux suites extraites convergentes : la suite des termes pairs (convergeant vers 1) et la suite des termes impairs (convergeant vers -1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14360,"question":"Soit (uₙ) une suite bornée. Parmi les affirmations suivantes, laquelle est toujours vraie ?","option_a":"Toute suite extraite de (uₙ) converge","option_b":"Il existe au moins une suite extraite de (uₙ) qui converge","option_c":"Toute suite extraite de (uₙ) diverge","option_d":"Aucune suite extraite ne peut converger","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"D'après le théorème de Bolzano-Weierstrass, toute suite bornée admet au moins une suite extraite convergente. Cela ne garantit pas la convergence de toutes les suites extraites.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14361,"question":"La suite (uₙ) définie par uₙ = n² est-elle bornée ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La suite (uₙ) = n² n'est pas bornée car elle tend vers +∞ lorsque n tend vers +∞. Une suite bornée doit avoir toutes ses valeurs comprises entre deux nombres réels.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14362,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que pour tout n, uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ, et que (uₙ) et (wₙ) convergent vers la même limite L. Que peut-on dire de (vₙ) ?","option_a":"(vₙ) converge vers une limite différente de L","option_b":"(vₙ) converge vers L","option_c":"(vₙ) diverge","option_d":"On ne peut rien dire sur (vₙ)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"D'après le théorème des gendarmes, si (uₙ) et (wₙ) convergent vers L et que pour tout n, uₙ ≤ vₙ ≤ wₙ, alors (vₙ) converge également vers L.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14363,"question":"La suite (uₙ) définie par uₙ = sin(n) est-elle bornée ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite (uₙ) = sin(n) est bornée car pour tout n, -1 ≤ sin(n) ≤ 1. Elle est donc comprise entre deux nombres réels, ce qui définit une suite bornée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14364,"question":"Soit (uₙ) une suite qui diverge vers +∞. Que peut-on dire de toute suite extraite (u_{φ(n)}) ?","option_a":"La suite extraite diverge vers +∞","option_b":"La suite extraite converge vers 0","option_c":"La suite extraite peut converger vers une limite finie","option_d":"La suite extraite est bornée","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Si une suite (uₙ) diverge vers +∞, alors toute suite extraite (u_{φ(n)}) diverge également vers +∞, car l'extraction de termes ne change pas le comportement à l'infini.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14365,"question":"Le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique-t-il à toute suite numérique ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème de Bolzano-Weierstrass s'applique uniquement aux suites bornées. Une suite non bornée peut ne pas admettre de suite extraite convergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14366,"question":"Soit (uₙ) une suite définie par uₙ = 1\/n. Quelle est la limite de la suite extraite (u_{2n}) ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"+∞","option_d":"-∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite (uₙ) = 1\/n converge vers 0. La suite extraite (u_{2n}) = 1\/(2n) converge également vers 0, car l'extraction de termes ne change pas la limite.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":14367,"question":"Soit (uₙ) une suite telle que uₙ = (-1)ⁿ \/ n. Que peut-on dire de la convergence de cette suite ?","option_a":"La suite converge vers 0","option_b":"La suite diverge","option_c":"La suite converge vers 1","option_d":"La suite converge vers -1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite (uₙ) = (-1)ⁿ \/ n converge vers 0, car |uₙ| = 1\/n tend vers 0, et le terme (-1)ⁿ est borné. On peut appliquer le théorème des gendarmes pour le prouver.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]