Testez vos connaissances sur les sous-groupes en algèbre

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":9783,"question":"Soit (G, *) un groupe et H un sous-ensemble non vide de G. Parmi les conditions suivantes, laquelle est NECESSAIRE pour que H soit un sous-groupe de G ?","option_a":"H est stable par *","option_b":"H contient tous les éléments de G","option_c":"H est fini","option_d":"H est infini","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour qu'un sous-ensemble H soit un sous-groupe de G, il doit être stable par l'opération *, contenir l'élément neutre de G, et chaque élément de H doit avoir son inverse dans H. La stabilité est donc une condition nécessaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9784,"question":"L'ensemble {0, 2, 4} est-il un sous-groupe de (ℤ\/6ℤ, +) ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vérifions les trois critères : 1) Stabilité : 2+2=4 ∈ {0,2,4}, 2+4=0 ∈ {0,2,4}, 4+4=2 ∈ {0,2,4} → OK. 2) Élément neutre : 0 ∈ {0,2,4} → OK. 3) Inverses : L'inverse de 2 est 4 (car 2+4=0), et l'inverse de 4 est 2 → OK. Donc {0,2,4} est bien un sous-groupe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9785,"question":"Quel est le sous-groupe engendré par l'élément 3 dans le groupe (ℤ, +) ?","option_a":"L'ensemble {0}","option_b":"L'ensemble {3k | k ∈ ℤ}","option_c":"L'ensemble {0, 3}","option_d":"L'ensemble ℤ tout entier","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le sous-groupe engendré par un élément a dans (ℤ, +) est l'ensemble de toutes ses puissances, c'est-à-dire {ka | k ∈ ℤ}. Ici, a=3, donc le sous-groupe est {3k | k ∈ ℤ}.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9786,"question":"Dans un groupe G, le sous-ensemble {e} où e est l'élément neutre est-il toujours un sous-groupe ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, {e} est toujours un sous-groupe de G car : 1) e * e = e ∈ {e} (stabilité), 2) e est l'élément neutre, 3) L'inverse de e est e lui-même. C'est le sous-groupe trivial.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9787,"question":"Soit G = (ℝ*, ×) le groupe multiplicatif des réels non nuls. Le sous-ensemble ℝ+* des réels strictement positifs est-il un sous-groupe de G ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vérifions : 1) Stabilité : Le produit de deux réels positifs est positif → OK. 2) Élément neutre : 1 ∈ ℝ+* → OK. 3) Inverses : L'inverse d'un réel positif est positif → OK. Donc ℝ+* est bien un sous-groupe de G.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9788,"question":"Quel est le sous-groupe engendré par l'élément 2 dans le groupe (ℤ\/4ℤ, +) ?","option_a":"{0}","option_b":"{0, 2}","option_c":"{0, 1, 2, 3}","option_d":"{1, 3}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le sous-groupe engendré par 2 est {2k mod 4 | k ∈ ℤ}. Les puissances successives donnent : 2, 4≡0, 6≡2, etc. Donc le sous-groupe est {0, 2}.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9789,"question":"Dans un groupe fini G, le sous-ensemble H = {x ∈ G | x² = e} est-il toujours un sous-groupe ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, car : 1) Si x, y ∈ H, alors (xy)² = xyxy = x(xy)y = x(e)y = xy, mais cela ne suffit pas. En réalité, H n'est pas toujours un sous-groupe. Contre-exemple : Dans le groupe symétrique S₃, H = {id, (1 2), (1 3), (2 3)} n'est pas stable par composition (ex : (1 2)(1 3) = (1 3 2) ∉ H). Donc la réponse est Faux.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9790,"question":"Soit G = (ℤ, +) et H = 5ℤ = {5k | k ∈ ℤ}. H est-il un sous-groupe de G ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, car : 1) Stabilité : 5k + 5l = 5(k+l) ∈ 5ℤ → OK. 2) Élément neutre : 0 = 5×0 ∈ 5ℤ → OK. 3) Inverses : L'inverse de 5k est -5k ∈ 5ℤ → OK. Donc H est bien un sous-groupe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9791,"question":"Quel est le plus petit sous-groupe de (ℤ, +) contenant 6 et 9 ?","option_a":"6ℤ","option_b":"9ℤ","option_c":"3ℤ","option_d":"18ℤ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le plus petit sous-groupe contenant 6 et 9 est l'ensemble des combinaisons linéaires de 6 et 9, c'est-à-dire {6a + 9b | a, b ∈ ℤ}. Comme pgcd(6,9)=3, cet ensemble est égal à 3ℤ.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9792,"question":"Dans un groupe G, si H et K sont deux sous-groupes de G, alors H ∩ K est-il toujours un sous-groupe de G ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Oui, car : 1) Stabilité : Si x, y ∈ H ∩ K, alors x*y ∈ H (car H est un sous-groupe) et x*y ∈ K (car K est un sous-groupe) → x*y ∈ H ∩ K. 2) Élément neutre : e ∈ H et e ∈ K → e ∈ H ∩ K. 3) Inverses : Si x ∈ H ∩ K, alors x⁻¹ ∈ H et x⁻¹ ∈ K → x⁻¹ ∈ H ∩ K. Donc H ∩ K est bien un sous-groupe.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]