Inégalités et récurrences : Testez vos connaissances !

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":66122,"question":"Quelle est la première étape d'une démonstration par récurrence ?","option_a":"Vérifier l'hypothèse de récurrence","option_b":"Démontrer le cas de base (initialisation)","option_c":"Conclure la preuve","option_d":"Appliquer le théorème des suites","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'initialisation consiste à vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme de la suite (souvent n=0 ou n=1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66123,"question":"L'inégalité |x - 3| \u003C 5 est équivalente à :","option_a":"-2 \u003C x \u003C 8","option_b":"-5 \u003C x \u003C 5","option_c":"-8 \u003C x \u003C 2","option_d":"-3 \u003C x \u003C 8","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'inégalité |x - a| \u003C b (avec b \u003E 0) équivaut à -b \u003C x - a \u003C b, donc ici -5 \u003C x - 3 \u003C 5, soit -2 \u003C x \u003C 8.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66124,"question":"La récurrence double est utile pour démontrer des propriétés sur les suites définies par une relation de récurrence d'ordre 2.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La récurrence double est précisément conçue pour les suites où chaque terme dépend des deux précédents, comme u_{n+2} = f(u_{n+1}, u_n).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66125,"question":"Quelle méthode permet de résoudre l'inégalité x² - 5x + 6 \u003E 0 ?","option_a":"Étudier le signe du polynôme","option_b":"Factoriser puis étudier le signe","option_c":"Utiliser la récurrence","option_d":"Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Il faut factoriser le polynôme (x-2)(x-3) \u003E 0, puis étudier le signe du produit en fonction des intervalles définis par les racines.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66126,"question":"Si une suite (u_n) est croissante et majorée, alors :","option_a":"Elle converge vers une limite finie","option_b":"Elle diverge vers +∞","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle est décroissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"D'après le théorème de convergence monotone, une suite croissante et majorée converge vers une limite finie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66127,"question":"L'inégalité 2^n \u003E n² est vraie pour tout entier n ≥ 5.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour n=5, 2^5=32 et 5²=25, donc 32\u003E25. Par récurrence, on peut démontrer que l'inégalité reste vraie pour n\u003E5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66128,"question":"Quelle est la relation de récurrence associée à la suite de Fibonacci ?","option_a":"u_{n+1} = u_n + u_{n-1}","option_b":"u_{n+2} = u_{n+1} * u_n","option_c":"u_{n+1} = 2u_n","option_d":"u_{n+1} = u_n²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite de Fibonacci est définie par u_{n+2} = u_{n+1} + u_n avec u_0=0 et u_1=1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66129,"question":"L'inégalité e^x ≥ 1 + x est vraie pour tout x réel.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Cette inégalité est une conséquence de la convexité de la fonction exponentielle et peut être démontrée par l'étude de la fonction f(x)=e^x -1 -x.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66130,"question":"Pour résoudre une inégalité avec une exponentielle, on peut :","option_a":"Étudier le signe de la dérivée","option_b":"Utiliser la monotonie de la fonction exponentielle","option_c":"Appliquer la récurrence","option_d":"Factoriser l'expression","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La fonction exponentielle est strictement croissante, donc on peut comparer les exposants directement.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":66131,"question":"Si une suite (u_n) vérifie u_{n+1} = u_n + 2 pour tout n, alors :","option_a":"Elle est arithmétique de raison 2","option_b":"Elle est géométrique de raison 2","option_c":"Elle est constante","option_d":"Elle est décroissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La relation u_{n+1} = u_n + 2 montre que chaque terme est obtenu en ajoutant 2 au précédent, donc la suite est arithmétique de raison 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]