Produits infinis et séries numériques — Niveau Bac

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":72422,"question":"Soit le produit infini ∏(n=1 à ∞) (1 + 1\/n²). Que peut-on dire de sa convergence ?","option_a":"Le produit converge car la série ∑1\/n² converge","option_b":"Le produit diverge car la série ∑1\/n² diverge","option_c":"Le produit converge car 1 + 1\/n² \u003E 0","option_d":"Le produit diverge car 1 + 1\/n² n'est pas borné","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le produit infini ∏(1 + uₙ) converge si et seulement si la série ∑uₙ converge (pour uₙ \u003E -1). Ici, uₙ = 1\/n² et ∑1\/n² converge (série de Riemann avec α=2\u003E1).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72423,"question":"La série ∑(n=1 à ∞) 1\/(n(n+1)) est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La série est télescopique : ∑1\/(n(n+1)) = ∑(1\/n - 1\/(n+1)) = 1 - lim(1\/(n+1)) = 1. Elle converge donc vers 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72424,"question":"Quel critère permet de montrer que la série ∑(n=1 à ∞) n!\/nⁿ converge ?","option_a":"Critère de d'Alembert","option_b":"Critère de Cauchy","option_c":"Critère de comparaison","option_d":"Critère de l'intégrale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le critère de d'Alembert (rapport) est adapté ici : lim |aₙ₊₁\/aₙ| = lim (nⁿ)\/((n+1)ⁿ⁺¹) = 1\/e \u003C 1, donc la série converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72425,"question":"Le produit infini ∏(n=2 à ∞) (1 - 1\/n²) est-il convergent ?","option_a":"Oui, car la série ∑1\/n² converge","option_b":"Non, car la série ∑1\/n² diverge","option_c":"Oui, car le produit partiel tend vers une limite finie","option_d":"Non, car les termes ne sont pas positifs","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le produit partiel se simplifie : ∏(k=2 à n) (1 - 1\/k²) = (n+1)\/(2n) → 1\/2 quand n→∞. Le produit converge donc vers 1\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72426,"question":"La série ∑(n=1 à ∞) (-1)ⁿ \/ n est-elle absolument convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La série converge (critère des séries alternées), mais la série des valeurs absolues ∑1\/n diverge. Elle est donc semi-convergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72427,"question":"Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑(n=0 à ∞) n² xⁿ ?","option_a":"R = 0","option_b":"R = 1","option_c":"R = ∞","option_d":"R = 1\/2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En utilisant le critère de d'Alembert : lim |aₙ₊₁ xⁿ⁺¹ \/ aₙ xⁿ| = |x| lim (n+1)²\/n² = |x|. Le rayon de convergence est R = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72428,"question":"Soit le produit infini ∏(n=1 à ∞) (1 - 1\/(n+1)²). Que vaut sa limite ?","option_a":"0","option_b":"1\/2","option_c":"1","option_d":"∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le produit partiel se simplifie : ∏(k=1 à n) (1 - 1\/(k+1)²) = (n+2)\/(2(n+1)) → 1\/2 quand n→∞.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72429,"question":"La série ∑(n=1 à ∞) 1\/√n est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"C'est une série de Riemann avec α=1\/2 ≤ 1. Elle diverge donc.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72430,"question":"Quel critère permet de montrer que la série ∑(n=1 à ∞) 1\/n² converge ?","option_a":"Critère de d'Alembert","option_b":"Critère de Cauchy","option_c":"Critère de comparaison avec une série géométrique","option_d":"Critère de l'intégrale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"Le critère de l'intégrale s'applique ici : ∫(1 à ∞) 1\/x² dx = 1, donc la série converge.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":72431,"question":"Le produit infini ∏(n=1 à ∞) (1 + (-1)ⁿ \/ n) est-il convergent ?","option_a":"Oui, car la série ∑(-1)ⁿ \/ n converge","option_b":"Non, car les termes ne sont pas tous positifs","option_c":"Oui, car le produit partiel tend vers une limite finie","option_d":"Non, car la série ∑(-1)ⁿ \/ n diverge","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Le produit partiel oscille entre deux valeurs (environ 0.6 et 1.6) et ne tend pas vers une limite finie. Le produit diverge donc.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]