Quiz — EDP_problèmes résolus.pdf

Question 1 sur 5 10:00

[{"id":768,"question":"Quelle méthode utilise-t-on pour résoudre une équation différentielle linéaire du premier ordre de la forme y' + a(x)y = b(x) ?","option_a":"Méthode de la variation de la constante","option_b":"Méthode du facteur intégrant","option_c":"Méthode de séparation des variables","option_d":"Méthode des coefficients indéterminés","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La méthode du facteur intégrant (µ(x) = e^{∫a(x)dx}) permet de transformer l'équation en une forme intégrable directement.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":769,"question":"Quelle est la solution générale de l'équation différentielle y'' - 5y' + 6y = 0 ?","option_a":"y(x) = C1e^{2x} + C2e^{3x}","option_b":"y(x) = C1e^{-2x} + C2e^{-3x}","option_c":"y(x) = C1e^{x} + C2e^{-6x}","option_d":"y(x) = C1e^{3x} + C2e^{2x}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'équation caractéristique associée est r² - 5r + 6 = 0, dont les racines sont r=2 et r=3. La solution générale est donc une combinaison linéaire de e^{2x} et e^{3x}.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":770,"question":"Pour résoudre y' + 2y = e^{-x}, quelle est l'étape clé après avoir trouvé le facteur intégrant ?","option_a":"Intégrer directement e^{-x} × µ(x)","option_b":"Multiplier les deux côtés par µ(x) avant d'intégrer","option_c":"Résoudre l'équation homogène associée","option_d":"Chercher une solution particulière de la forme Ae^{-x}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le facteur intégrant µ(x) = e^{∫2dx} = e^{2x} doit être multiplié des deux côtés avant intégration pour obtenir la solution générale.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":771,"question":"Un circuit RC en série est modélisé par l'équation différentielle RC(dU\/dt) + U = E. Quelle est la solution générale si E est une constante ?","option_a":"U(t) = E + C e^{-t\/RC}","option_b":"U(t) = E(1 - e^{-t\/RC}) + C","option_c":"U(t) = C e^{-t\/RC}","option_d":"U(t) = E - C e^{-t\/RC}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La solution générale est la somme de la solution homogène (C e^{-t\/RC}) et d'une solution particulière constante (E).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":772,"question":"Quelle condition initiale permet de déterminer la constante C dans la solution y(x) = 2e^{3x} + Ce^{-x} ?","option_a":"y(0) = 3","option_b":"y'(0) = 0","option_c":"y(1) = 2","option_d":"y(0) = 5","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Avec y(0) = 3, on obtient 3 = 2 + C, soit C=1. Les autres options ne permettent pas de déterminer C directement.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]