Famille Libre, Liée et Génératrice : Testez vos connaissances en algèbre linéaire

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":8553,"question":"Soit une famille de vecteurs {v1, v2} dans un espace vectoriel. Si 3v1 - 2v2 = 0, alors la famille est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La famille est liée car il existe une combinaison linéaire non triviale (3v1 - 2v2 = 0) qui donne le vecteur nul.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8554,"question":"Une famille de vecteurs est génératrice si :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Une famille génératrice permet d'exprimer tout vecteur de l'espace comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8555,"question":"Dans ℝ³, la famille {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} est :","option_a":"Libre mais non génératrice","option_b":"Lié et génératrice","option_c":"Libre et génératrice","option_d":"Ni libre ni génératrice","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Cette famille est libre (aucun vecteur n'est combinaison linéaire des autres) et génératrice (elle engendre tout ℝ³).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8556,"question":"Soit la famille {(1,2), (2,4)} dans ℝ². Cette famille est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La famille est liée car (2,4) = 2*(1,2). Les deux vecteurs sont colinéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8557,"question":"Une famille de vecteurs est une base si elle est à la fois libre et génératrice.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Une base est une famille libre et génératrice qui permet de représenter tous les vecteurs de l'espace de manière unique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8558,"question":"Dans ℝ², la famille {(1,0), (0,1), (1,1)} est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La famille est liée car (1,1) = (1,0) + (0,1). Elle n'est donc pas libre.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8559,"question":"Soit la famille {(1,1,0), (0,1,1)} dans ℝ³. Cette famille est :","option_a":"Libre et génératrice","option_b":"Libre mais non génératrice","option_c":"Lié et génératrice","option_d":"Ni libre ni génératrice","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La famille est libre (les vecteurs ne sont pas colinéaires) mais non génératrice car elle n'engendre pas tout ℝ³ (par exemple, (1,0,0) ne peut pas s'exprimer avec ces deux vecteurs).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8560,"question":"Si une famille contient le vecteur nul, alors elle est automatiquement liée.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Le vecteur nul peut toujours s'exprimer comme combinaison linéaire des autres vecteurs (avec tous les coefficients nuls), ce qui rend la famille liée.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8561,"question":"Dans ℝ⁴, la famille {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)} est :","option_a":"Libre mais non génératrice","option_b":"Lié et génératrice","option_c":"Libre et génératrice","option_d":"Ni libre ni génératrice","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Cette famille est libre (les vecteurs sont linéairement indépendants) et génératrice (elle engendre tout ℝ⁴).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":8562,"question":"Soit la famille {(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)} dans ℝ³. Cette famille est :","option_a":"Libre","option_b":"Lié","option_c":"Génératrice","option_d":"Une base","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La famille est liée car les vecteurs sont linéairement dépendants (le troisième vecteur est une combinaison linéaire des deux premiers).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]