Variables aléatoires : Espérance, Variance et Lois de Probabilité

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[{"id":9713,"question":"Soit X une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 1, 2 et 3 avec les probabilités respectives 0.2, 0.5 et 0.3. Quelle est l'espérance de X ?","option_a":"1.8","option_b":"2.1","option_c":"2.5","option_d":"3.0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"L'espérance E(X) = 1×0.2 + 2×0.5 + 3×0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9714,"question":"La variance d'une variable aléatoire est toujours positive.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La variance est définie comme l'espérance du carré de l'écart à la moyenne, donc elle est toujours positive ou nulle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9715,"question":"Quelle loi de probabilité modélise le nombre de succès dans n épreuves indépendantes de Bernoulli ?","option_a":"Loi uniforme","option_b":"Loi binomiale","option_c":"Loi exponentielle","option_d":"Loi normale","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès dans n épreuves indépendantes avec une probabilité p de succès à chaque épreuve.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9716,"question":"Soit X une variable aléatoire continue de densité f(x) = 2x sur [0,1]. Quelle est la probabilité P(X ≤ 0.5) ?","option_a":"0.125","option_b":"0.25","option_c":"0.5","option_d":"0.75","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"P(X ≤ 0.5) = intégrale de 0 à 0.5 de 2x dx = [x²] de 0 à 0.5 = 0.25.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9717,"question":"Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La covariance nulle est une condition nécessaire mais pas suffisante pour l'indépendance. Il existe des variables non indépendantes avec une covariance nulle.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9718,"question":"Quelle est la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n,p) ?","option_a":"n·p","option_b":"n·p·(1-p)","option_c":"n²·p","option_d":"p·(1-p)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La variance d'une loi binomiale B(n,p) est n·p·(1-p).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9719,"question":"Soit X une variable aléatoire d'espérance 5 et de variance 4. Quelle est l'espérance de Y = 2X + 3 ?","option_a":"8","option_b":"10","option_c":"13","option_d":"16","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"E(Y) = 2·E(X) + 3 = 2×5 + 3 = 13.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9720,"question":"La loi exponentielle est utilisée pour modéliser des durées de vie.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La loi exponentielle est couramment utilisée pour modéliser des temps d'attente ou des durées de vie sans vieillissement.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9721,"question":"Quelle est la probabilité qu'une variable aléatoire X suivant une loi normale centrée réduite prenne une valeur inférieure à -1 ?","option_a":"0.1587","option_b":"0.3413","option_c":"0.5","option_d":"0.8413","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Pour une loi normale centrée réduite, P(X ≤ -1) ≈ 0.1587 (valeur lue dans la table de la loi normale).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":9722,"question":"Soit X une variable aléatoire d'espérance μ et de variance σ². Quelle est la variance de Z = (X - μ)\/σ ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"σ²","option_d":"μ²","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Z est la variable centrée réduite. Sa variance est toujours égale à 1, quelle que soit la loi de X.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]