Maîtrisez le Groupe Symétrique : Permutations, Cycles et Signature

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":77302,"question":"Quelle est la signature d'une permutation composée de 5 transpositions ?","option_a":"1 (paire)","option_b":"−1 (impaire)","option_c":"0 (indéterminée)","option_d":"5 (paire)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La signature d'une permutation est (−1)^k où k est le nombre de transpositions. Ici, k=5, donc la signature est (−1)^5 = −1, ce qui correspond à une permutation impaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77303,"question":"Un cycle de longueur 4 a un ordre égal à :","option_a":"2","option_b":"3","option_c":"4","option_d":"6","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Un cycle de longueur n a un ordre égal à n. Ici, n=4, donc l'ordre est 4.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77304,"question":"Vrai ou Faux : Toute permutation peut s'écrire comme un produit de transpositions.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai : toute permutation peut être décomposée en un produit de transpositions, bien que cette décomposition ne soit pas unique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77305,"question":"Quel est l'ordre du groupe symétrique S₃ ?","option_a":"3","option_b":"6","option_c":"9","option_d":"12","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le groupe symétrique S₃ est l'ensemble des permutations de 3 éléments. Il contient 3! = 6 éléments, donc son ordre est 6.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77306,"question":"Vrai ou Faux : Le groupe alterné Aₙ est toujours un sous-groupe distingué du groupe symétrique Sₙ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai : le groupe alterné Aₙ est un sous-groupe distingué de Sₙ car il est d'indice 2 et invariant par conjugaison.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77307,"question":"Soit σ = (1 2 3)(4 5) une permutation. Quelle est sa signature ?","option_a":"1 (paire)","option_b":"−1 (impaire)","option_c":"0 (indéterminée)","option_d":"2 (paire)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La signature est le produit des signatures des cycles disjoints. Un cycle de longueur 3 a une signature (−1)^(3−1) = 1, et un cycle de longueur 2 a une signature (−1)^(2−1) = −1. Le produit est 1 × (−1) = −1, donc la permutation est impaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77308,"question":"Quel théorème permet de déterminer l'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini ?","option_a":"Théorème de Fermat","option_b":"Théorème de Lagrange","option_c":"Théorème de Gauss","option_d":"Théorème de Cauchy","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Le théorème de Lagrange stipule que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe fini.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77309,"question":"Vrai ou Faux : Deux permutations conjuguées ont la même signature.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"C'est vrai : la signature est un invariant par conjugaison, donc deux permutations conjuguées ont la même signature.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77310,"question":"Quelle est la décomposition en cycles disjoints de la permutation σ = (1 3 5 2)(4 6)(1 4) ?","option_a":"(1 2 3 5)(4 6)","option_b":"(1 4 6 5 3 2)","option_c":"(1 5 3 2)(4 6)","option_d":"(1 3 5)(2 4 6)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"En composant les cycles, on obtient (1 5 3 2)(4 6) après simplification des répétitions.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":77311,"question":"Quel est l'ordre de la permutation σ = (1 2 3 4 5 6) ?","option_a":"3","option_b":"5","option_c":"6","option_d":"12","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Un cycle de longueur n a un ordre égal à n. Ici, n=6, donc l'ordre est 6.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]