Testez vos connaissances sur les séries numériques — Terminale Math

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":16968,"question":"Quelle série est convergente parmi les suivantes ?","option_a":"La série harmonique Σ(1\/n)","option_b":"La série géométrique de raison 2","option_c":"La série Σ(1\/n²)","option_d":"La série Σ(n)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"La série Σ(1\/n²) est convergente car c'est une série de Riemann avec α=2 \u003E 1. La série harmonique et la série Σ(n) divergent, tandis que la série géométrique de raison 2 diverge aussi.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16969,"question":"Le critère de d'Alembert (ratio) peut être appliqué à une série alternée.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Le critère de d'Alembert s'applique aux séries à termes positifs. Pour les séries alternées, on utilise plutôt le critère de Leibniz ou des tests de convergence absolue.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16970,"question":"Si lim(n→∞) |u_{n+1}\/u_n| = 0,5, alors la série Σu_n est :","option_a":"Convergente","option_b":"Divergente","option_c":"Peut converger ou diverger","option_d":"Semi-convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Convergente. D'après le critère de d'Alembert, si la limite du ratio est strictement inférieure à 1, la série converge absolument (donc converge).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16971,"question":"La série Σ(1\/n!) est convergente car :","option_a":"Elle est télescopique","option_b":"Elle est géométrique de raison 1\/n","option_c":"Elle est majorée par une série convergente","option_d":"Elle est harmonique","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"Elle est majorée par une série convergente (par exemple Σ(1\/2^n)). On peut aussi utiliser le critère de d'Alembert : lim(n→∞) (n!\/(n+1)!) = 0 \u003C 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16972,"question":"Le critère de comparaison directe s'applique uniquement aux séries à termes positifs.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Le critère de comparaison directe nécessite que les termes des séries comparées soient positifs pour garantir la validité des inégalités.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16973,"question":"Quelle est la nature de la série Σ( (-1)^n \/ n ) ?","option_a":"Convergente absolument","option_b":"Convergente simplement","option_c":"Divergente","option_d":"Semi-convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"Semi-convergente. La série converge simplement (critère de Leibniz) mais pas absolument (série harmonique divergente).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16974,"question":"Si deux séries Σu_n et Σv_n vérifient 0 ≤ u_n ≤ v_n pour tout n, alors :","option_a":"Si Σu_n converge, Σv_n converge","option_b":"Si Σv_n converge, Σu_n converge","option_c":"Si Σu_n diverge, Σv_n diverge","option_d":"Les deux séries ont la même nature","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Si Σv_n converge, alors Σu_n converge par comparaison directe (théorème de comparaison).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16975,"question":"Le critère de l'intégrale s'applique aux séries de la forme Σf(n) où f est :","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. Le critère de l'intégrale s'applique aux séries dont les termes sont définis par une fonction f continue, positive et décroissante sur [1, +∞[.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16976,"question":"Quelle est la somme de la série géométrique Σ(1\/2)^n pour n de 0 à ∞ ?","option_a":"1","option_b":"2","option_c":"1\/2","option_d":"La série diverge","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"La somme d'une série géométrique de raison |r| \u003C 1 est S = 1\/(1-r). Ici, r = 1\/2, donc S = 1\/(1-1\/2) = 2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":16977,"question":"Une série convergente peut avoir une somme infinie.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Par définition, une série convergente a une somme finie. Si la somme est infinie, la série est divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]