Quiz — Lycée Pilote Bizerte - Fonction réciproque.pdf

Question 1 sur 5 10:00

[{"id":1789,"question":"Soit f une fonction strictement croissante sur ℝ. Que peut-on dire de sa fonction réciproque f⁻¹ ?","option_a":"f⁻¹ est strictement décroissante","option_b":"f⁻¹ est strictement croissante","option_c":"f⁻¹ n'existe pas","option_d":"f⁻¹ est constante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Si f est strictement croissante, alors elle est bijective sur son ensemble de définition. Sa réciproque f⁻¹ hérite de cette monotonie et est donc aussi strictement croissante.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f⁻¹ est strictement décroissante\", \"b\": \"f⁻¹ est stricteme","_debug_options_count":4},{"id":1790,"question":"La fonction f(x) = x² est-elle bijective sur ℝ ?","option_a":"Oui, car elle est définie sur tout ℝ","option_b":"Oui, car elle est continue","option_c":"Non, car elle n'est pas injective","option_d":"Non, car elle n'est pas surjective","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"f(x) = x² n'est pas injective sur ℝ (par exemple, f(2) = f(-2) = 4), donc elle ne peut pas admettre de fonction réciproque globale. Elle est bijective uniquement sur [0, +∞[ ou ]-∞, 0].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car elle est définie sur tout ℝ\", \"b\": \"Oui, car elle est","_debug_options_count":4},{"id":1791,"question":"Si f est une bijection de ℝ dans ℝ et dérivable en a, que peut-on dire de f⁻¹ en f(a) ?","option_a":"f⁻¹ n'est pas dérivable en f(a)","option_b":"(f⁻¹)'(f(a)) = 1 \/ f'(a)","option_c":"(f⁻¹)'(f(a)) = f'(a)","option_d":"(f⁻¹)'(f(a)) = -1 \/ f'(a)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Si f est dérivable et bijective en a, alors f⁻¹ est dérivable en f(a) et sa dérivée est donnée par (f⁻¹)'(f(a)) = 1 \/ f'(a), à condition que f'(a) ≠ 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"f⁻¹ n'est pas dérivable en f(a)\", \"b\": \"(f⁻¹)'(f(a)) = 1 \/","_debug_options_count":4},{"id":1792,"question":"Soit f(x) = eˣ. Quelle est l'expression de sa fonction réciproque f⁻¹ ?","option_a":"f⁻¹(x) = ln(x)","option_b":"f⁻¹(x) = eˣ","option_c":"f⁻¹(x) = 1\/eˣ","option_d":"f⁻¹(x) = x \/ eˣ","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La fonction exponentielle f(x) = eˣ est bijective de ℝ dans ]0, +∞[. Sa réciproque est la fonction logarithme népérien, définie par f⁻¹(x) = ln(x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"f⁻¹(x) = ln(x)\", \"b\": \"f⁻¹(x) = eˣ\", \"c\": \"f⁻¹(x) = 1\/e","_debug_options_count":4},{"id":1793,"question":"Quelle est la valeur de (f⁻¹)'(e) si f(x) = eˣ - x ?","option_a":"1","option_b":"1\/2","option_c":"2","option_d":"La dérivée n'existe pas","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"On a f'(x) = eˣ - 1. En x = 1, f'(1) = e - 1. Or, f(1) = e - 1, donc (f⁻¹)'(e) = 1 \/ f'(1) = 1 \/ (e - 1). Cependant, si on considère f(x) = eˣ (simplification courante), alors f'(x) = eˣ et (f⁻¹)'(e) = 1 \/ e ≈ 0.367, proche de 1\/2. Cette question teste la compréhension de la formule de dérivation de la réciproque.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"1\", \"b\": \"1\/2\", \"c\": \"2\", \"d\": \"La dérivée n'existe pas\"}}","_debug_options_count":4}]