Quiz — Epreuve d_Entrée agrégation _ RABAT 2017-Algèbre et Géom.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":20439,"question":"Quel est le résultat de la somme des racines d'un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c ?","option_a":"-b\/a","option_b":"b\/a","option_c":"c\/a","option_d":"-c\/a","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Pour un polynôme P(x) = ax² + bx + c, la somme des racines est donnée par -b\/a (formule de Viète).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"-b\/a\", \"b\": \"b\/a\", \"c\": \"c\/a\", \"d\": \"-c\/a\"}}","_debug_options_count":4},{"id":20440,"question":"Dans un espace vectoriel, un sous-ensemble est un sous-espace vectoriel si et seulement si il est stable par addition et multiplication par un scalaire.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est une propriété fondamentale des sous-espaces vectoriels : ils doivent être stables par addition et multiplication par un scalaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":20441,"question":"Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des matrices carrées 3x3 ?","option_a":"3","option_b":"6","option_c":"9","option_d":"12","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"L'espace des matrices 3x3 a pour base canonique les matrices E_ij (où i,j=1,2,3), soit 9 éléments. Sa dimension est donc 9.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"3\", \"b\": \"6\", \"c\": \"9\", \"d\": \"12\"}}","_debug_options_count":4},{"id":20442,"question":"L'application f: R² → R² définie par f(x,y) = (2x + y, x - y) est-elle un automorphisme de R² ?","option_a":"Oui, car elle est bijective","option_b":"Non, car elle n'est pas linéaire","option_c":"Oui, mais seulement si x et y sont positifs","option_d":"Non, car son déterminant est nul","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Une application linéaire est un automorphisme si et seulement si elle est bijective. Ici, f est linéaire et son déterminant (2*(-1) - 1*1 = -3) est non nul, donc elle est bijective.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Oui, car elle est bijective\", \"b\": \"Non, car elle n'est pas liné","_debug_options_count":4},{"id":20443,"question":"La droite d'équation y = 2x + 3 et la droite d'équation 4x - 2y + 5 = 0 sont-elles parallèles ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Les droites sont parallèles si leurs coefficients directeurs sont égaux. La première a un coefficient directeur de 2, la seconde de 2 (car 4x - 2y + 5 = 0 ⇒ y = 2x + 5\/2). Elles sont donc parallèles.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":20444,"question":"Quel est le groupe des isométries directes du plan euclidien ?","option_a":"Le groupe orthogonal O(2)","option_b":"Le groupe spécial orthogonal SO(2)","option_c":"Le groupe des translations","option_d":"Le groupe des homothéties","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Les isométries directes (qui préservent l'orientation) du plan forment le groupe spécial orthogonal SO(2), qui est isomorphe au groupe des rotations.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Le groupe orthogonal O(2)\", \"b\": \"Le groupe spécial orthogonal S","_debug_options_count":4},{"id":20445,"question":"Soit une application linéaire f: E → F entre deux espaces vectoriels. Si f est injective, alors dim(E) ≤ dim(F).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Si f est injective, alors dim(ker(f)) = 0, et par le théorème du rang, dim(E) = dim(Im(f)) ≤ dim(F).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":20446,"question":"Quelle est la nature de l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y'' + 4y = 0 ?","option_a":"Un cercle","option_b":"Une ellipse","option_c":"Une sinusoïde","option_d":"Une parabole","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"L'équation différentielle y'' + 4y = 0 a pour solution générale y(x) = A cos(2x) + B sin(2x), qui est une sinusoïde.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"Un cercle\", \"b\": \"Une ellipse\", \"c\": \"Une sinusoïde\", \"d\": \"Une ","_debug_options_count":4},{"id":20447,"question":"Dans un espace préhilbertien, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit |⟨u, v⟩| ≤ ||u|| ||v||. Que vaut cette inégalité lorsque u et v sont colinéaires ?","option_a":"|⟨u, v⟩| = ||u|| ||v||","option_b":"|⟨u, v⟩| \u003C ||u|| ||v||","option_c":"|⟨u, v⟩| \u003E ||u|| ||v||","option_d":"L'inégalité n'est pas définie","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Si u et v sont colinéaires, alors ⟨u, v⟩ = ||u|| ||v|| (ou son opposé), donc l'inégalité de Cauchy-Schwarz devient une égalité.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"|⟨u, v⟩| = ||u|| ||v||\", \"b\": \"|⟨u, v⟩| \u003C ||u|| ||v||\", \"","_debug_options_count":4},{"id":20448,"question":"Quelle est la dimension de l'espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 3 ?","option_a":"3","option_b":"4","option_c":"5","option_d":"6","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"L'espace des polynômes de degré ≤ 3 a pour base canonique {1, x, x², x³}, donc sa dimension est 4.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"3\", \"b\": \"4\", \"c\": \"5\", \"d\": \"6\"}}","_debug_options_count":4}]