Quiz — Bibmath27 Séries de fonctions (résumé & 27 exes).pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":88098,"question":"Soit la série de fonctions ∑(n=1 à ∞) (x^n)\/n. Sur quel intervalle converge-t-elle uniformément ?","option_a":"[-1, 1]","option_b":"[-1, 1[","option_c":"[-0.5, 0.5]","option_d":"]-1, 1[","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La série converge simplement sur [-1, 1[ mais converge uniformément uniquement sur [-1, 1-ε] pour tout ε\u003E0. Le théorème d'Abel permet de conclure pour [-1, 1].","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"[-1, 1]\", \"b\": \"[-1, 1[\", \"c\": \"[-0.5, 0.5]\", \"d\": \"]-1, 1[\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88099,"question":"Le théorème de Weierstrass s'applique-t-il à toute série de fonctions convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Le théorème nécessite l'existence d'une série numérique convergente qui majore uniformément la série de fonctions.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88100,"question":"Quelle est la somme de la série entière ∑(n=0 à ∞) x^n pour |x| \u003C 1 ?","option_a":"1\/(1-x)","option_b":"1\/(1+x)","option_c":"x\/(1-x)","option_d":"e^x","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La série géométrique ∑x^n converge vers 1\/(1-x) pour |x| \u003C 1, résultat fondamental en analyse.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"1\/(1-x)\", \"b\": \"1\/(1+x)\", \"c\": \"x\/(1-x)\", \"d\": \"e^x\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88101,"question":"Si une série de fonctions converge uniformément sur un intervalle, alors sa limite est continue.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai, sous réserve que les fonctions de la série soient continues. C'est une conséquence directe du théorème de continuité des limites uniformes.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88102,"question":"Quel critère permet de conclure à la convergence uniforme d'une série alternée ?","option_a":"Critère de Cauchy","option_b":"Critère de Leibniz","option_c":"Critère de d'Alembert","option_d":"Critère de comparaison","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Le critère de Leibniz s'applique aux séries alternées et garantit la convergence simple. Pour la convergence uniforme, il faut des hypothèses supplémentaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Critère de Cauchy\", \"b\": \"Critère de Leibniz\", \"c\": \"Critère d","_debug_options_count":4},{"id":88103,"question":"La série ∑(n=1 à ∞) (sin(nx))\/n^2 converge-t-elle uniformément sur ℝ ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai, car |sin(nx)\/n^2| ≤ 1\/n^2 et ∑1\/n^2 converge (série de Riemann). Le théorème de Weierstrass s'applique.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88104,"question":"Quelle est la dérivée terme à terme de ∑(n=0 à ∞) x^n pour |x| \u003C 1 ?","option_a":"∑(n=1 à ∞) n x^{n-1}","option_b":"∑(n=0 à ∞) n x^{n}","option_c":"∑(n=0 à ∞) x^{n+1}","option_d":"∑(n=1 à ∞) x^{n-1}","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"La série dérivée terme à terme est ∑n x^{n-1}, qui converge aussi pour |x| \u003C 1 (série géométrique dérivée).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"∑(n=1 à ∞) n x^{n-1}\", \"b\": \"∑(n=0 à ∞) n x^{n}\", \"c\": ","_debug_options_count":4},{"id":88105,"question":"Le théorème d'Abel s'applique-t-il aux séries de fonctions quelconques ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Faux. Le théorème d'Abel est spécifique aux séries de la forme ∑a_n(x) b_n(x) où (a_n) est décroissante et tend vers 0, et (b_n) a des sommes partielles bornées.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88106,"question":"Pour quelle valeur de x la série ∑(n=1 à ∞) (x^n)\/n converge-t-elle simplement ?","option_a":"x = 1","option_b":"x = -1","option_c":"|x| ≤ 1","option_d":"|x| \u003C 1","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"La série converge simplement sur [-1, 1] (en x=1, c'est la série harmonique alternée qui converge).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"x = 1\", \"b\": \"x = -1\", \"c\": \"|x| ≤ 1\", \"d\": \"|x| \u003C 1\"}}","_debug_options_count":4},{"id":88107,"question":"Si ∑f_n converge uniformément vers f sur I, alors ∫_I f_n → ∫_I f.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"Vrai, c'est une conséquence du théorème d'intégration terme à terme sous convergence uniforme.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4}]