Quiz — 65de06698ca61_énoncé_Série N°4-Dérivabilité-Nombre dérivé.pdf

Question 1 sur 10 20:00

[{"id":33560,"question":"Soit f une fonction définie sur ℝ. Que signifie 'f est dérivable en a' ?","option_a":"La fonction f est continue en a","option_b":"La limite du taux d'accroissement en a existe et est finie","option_c":"La fonction f est définie en a","option_d":"La fonction f est croissante en a","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"Une fonction est dérivable en un point a si la limite du taux d'accroissement (f(a+h)-f(a))\/h lorsque h tend vers 0 existe et est finie. Cette limite est le nombre dérivé f'(a).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"La fonction f est continue en a\", \"b\": \"La limite du taux d'accro","_debug_options_count":4},{"id":33561,"question":"La fonction f(x) = |x| est-elle dérivable en 0 ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 car le taux d'accroissement a une limite à gauche (-1) et une limite à droite (1) différentes. La limite n'existe donc pas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33562,"question":"Soit f(x) = x². Quel est le nombre dérivé de f en 3 ?","option_a":"0","option_b":"3","option_c":"6","option_d":"9","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"c","explication":"Le nombre dérivé de f(x) = x² en x = 3 est f'(3) = 2×3 = 6. On peut aussi le calculer via la limite du taux d'accroissement : lim(h→0) [(3+h)² - 9]\/h = 6.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"c\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"3\", \"c\": \"6\", \"d\": \"9\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33563,"question":"Si f est dérivable sur ℝ, alors f est nécessairement continue sur ℝ.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est un théorème fondamental : toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle. La réciproque est fausse (exemple : f(x) = |x| en 0).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33564,"question":"Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = 3x⁴ - 2x³ + 5x - 7 ?","option_a":"12x³ - 6x² + 5","option_b":"12x³ - 6x² + 5x","option_c":"3x³ - 2x² + 5","option_d":"12x³ - 6x² + 5x - 7","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"En appliquant les règles de dérivation : (3x⁴)' = 12x³, (-2x³)' = -6x², (5x)' = 5, et (-7)' = 0. La dérivée est donc f'(x) = 12x³ - 6x² + 5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"12x³ - 6x² + 5\", \"b\": \"12x³ - 6x² + 5x\", \"c\": \"3x³ - 2x² + ","_debug_options_count":4},{"id":33565,"question":"La tangente à la courbe de f en a a pour équation y = f'(a)(x - a) + f(a).","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est la formule de l'équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a. Elle utilise le nombre dérivé f'(a) et la valeur f(a).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33566,"question":"Soit f(x) = √x. Que vaut f'(4) ?","option_a":"1\/2","option_b":"1\/4","option_c":"1\/√4","option_d":"2","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La dérivée de f(x) = √x est f'(x) = 1\/(2√x). En x = 4, f'(4) = 1\/(2×2) = 1\/4.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"1\/2\", \"b\": \"1\/4\", \"c\": \"1\/√4\", \"d\": \"2\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33567,"question":"Si f est dérivable en a, alors la courbe de f admet une tangente en a.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"a","explication":"C'est une conséquence directe de la définition de la dérivabilité : l'existence du nombre dérivé f'(a) garantit l'existence d'une tangente à la courbe en a, d'équation y = f'(a)(x - a) + f(a).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"a\", \"options\": {\"a\": \"Vrai\", \"b\": \"Faux\", \"c\": \"\", \"d\": \"\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33568,"question":"Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = e^(2x) ?","option_a":"e^(2x)","option_b":"2e^(2x)","option_c":"2x e^(2x)","option_d":"e^(x)","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"En utilisant la formule de dérivation des fonctions exponentielles composées : (e^u)' = u' e^u. Ici u = 2x, donc u' = 2. Ainsi, f'(x) = 2 e^(2x).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"e^(2x)\", \"b\": \"2e^(2x)\", \"c\": \"2x e^(2x)\", \"d\": \"e^(x)\"}}","_debug_options_count":4},{"id":33569,"question":"Soit f(x) = ln(x). Quel est le nombre dérivé de f en 1 ?","option_a":"0","option_b":"1","option_c":"-1","option_d":"e","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"b","explication":"La dérivée de la fonction logarithme népérien est f'(x) = 1\/x. En x = 1, f'(1) = 1\/1 = 1.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0,"_debug_answer_data_type":"string","_debug_answer_data_preview":"{\"correct\": \"b\", \"options\": {\"a\": \"0\", \"b\": \"1\", \"c\": \"-1\", \"d\": \"e\"}}","_debug_options_count":4}]