Géométrie analytique dans R² : Vecteurs et Droites

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":42266,"question":"Quelle est la norme du vecteur u(3, -4) dans R² ?","option_a":"5","option_b":"7","option_c":"12","option_d":"25","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La norme d'un vecteur u(x,y) est calculée par √(x² + y²). Ici, √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42267,"question":"L'équation cartésienne d'une droite passant par A(1,2) et de vecteur directeur v(2,3) est :","option_a":"3x - 2y + 1 = 0","option_b":"2x - 3y + 4 = 0","option_c":"x - y + 1 = 0","option_d":"3x + 2y - 7 = 0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'équation est obtenue par (y - yA) = (a\/b)(x - xA) où v(a,b) est le vecteur directeur. Ici, (y - 2) = (3\/2)(x - 1) → 2y - 4 = 3x - 3 → 3x - 2y + 1 = 0.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42268,"question":"Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Le déterminant de deux vecteurs u(x1,y1) et v(x2,y2) est x1y2 - x2y1. Si ce déterminant est nul, les vecteurs sont colinéaires.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42269,"question":"Quelle est la distance entre les points A(1,3) et B(4,7) dans R² ?","option_a":"5","option_b":"7","option_c":"√13","option_d":"√25","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"D","explication":"La distance entre deux points A(x1,y1) et B(x2,y2) est √((x2-x1)² + (y2-y1)²). Ici, √((4-1)² + (7-3)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42270,"question":"L'équation paramétrique d'une droite passant par A(2, -1) et de vecteur directeur v(-1, 3) est :","option_a":"x = 2 - t, y = -1 + 3t","option_b":"x = -1 + 2t, y = 3 - t","option_c":"x = 2 + t, y = -1 - 3t","option_d":"x = -1 - 2t, y = 3 + t","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'équation paramétrique d'une droite passant par A(x0,y0) avec un vecteur directeur v(a,b) est x = x0 + at, y = y0 + bt. Ici, x = 2 - t, y = -1 + 3t.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42271,"question":"Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est toujours égal à zéro.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. C'est une propriété fondamentale du produit scalaire.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42272,"question":"Quelle est l'équation de la droite perpendiculaire à la droite d'équation 2x + 3y - 5 = 0 et passant par le point C(1, -2) ?","option_a":"3x - 2y - 7 = 0","option_b":"2x + 3y + 4 = 0","option_c":"x - y - 3 = 0","option_d":"3x + 2y - 1 = 0","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La droite perpendiculaire a un vecteur directeur proportionnel à (3, -2) (coefficients échangés et un signe modifié). L'équation est 3x - 2y + c = 0. En remplaçant par C(1,-2), on trouve c = -7.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42273,"question":"Le vecteur u(5, -12) a une norme égale à 13.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La norme est √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13. L'affirmation est donc vraie.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42274,"question":"Quelle est la condition pour que trois points A, B et C soient alignés dans R² ?","option_a":"Le déterminant des vecteurs AB et AC est nul","option_b":"Le produit scalaire des vecteurs AB et AC est nul","option_c":"Les vecteurs AB et AC ont la même norme","option_d":"Les points A, B et C forment un triangle rectangle","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Trois points sont alignés si les vecteurs AB et AC sont colinéaires, c'est-à-dire si leur déterminant est nul.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":42275,"question":"L'équation d'un cercle de centre O(0,0) et de rayon 5 est :","option_a":"x² + y² = 25","option_b":"x² + y² = 5","option_c":"x² + y² = 10","option_d":"x² + y² = 125","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"L'équation d'un cercle de centre (a,b) et de rayon r est (x-a)² + (y-b)² = r². Ici, x² + y² = 25.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]