Quiz : Maîtrisez les suites réelles — Terminale Mathématiques

Question 1 sur 10 10:00

[{"id":47411,"question":"Quelle est la limite de la suite définie par u_n = (3n + 2)\/(2n - 1) quand n tend vers l'infini ?","option_a":"A. 1","option_b":"B. 3\/2","option_c":"C. 2","option_d":"D. +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient u_n = (3 + 2\/n)\/(2 - 1\/n). Quand n → ∞, 2\/n et 1\/n tendent vers 0, donc la limite est 3\/2.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47412,"question":"Une suite bornée est toujours convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente. Par exemple, la suite u_n = (-1)^n est bornée mais ne converge pas.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47413,"question":"Soit la suite définie par u_0 = 1 et u_{n+1} = (u_n + 2)\/3. Cette suite est :","option_a":"A. Croissante","option_b":"B. Décroissante","option_c":"C. Constante","option_d":"D. Ni croissante ni décroissante","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"On montre par récurrence que u_n \u003E 2 pour tout n. En comparant u_{n+1} et u_n, on obtient u_{n+1} - u_n = (2 - 2u_n)\/3 \u003C 0, donc la suite est décroissante.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47414,"question":"La suite u_n = n^2 - 5n + 6 est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. La suite u_n = n^2 - 5n + 6 tend vers +∞ quand n → ∞, donc elle est divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47415,"question":"Soit deux suites (u_n) et (v_n) telles que u_n ≤ v_n pour tout n. Si lim(u_n) = +∞, alors :","option_a":"A. lim(v_n) = +∞","option_b":"B. lim(v_n) peut être finie","option_c":"C. lim(v_n) = -∞","option_d":"D. Aucune conclusion","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Si u_n ≤ v_n et lim(u_n) = +∞, alors lim(v_n) = +∞ par comparaison (théorème de comparaison des limites).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47416,"question":"La suite définie par u_n = sin(n) est-elle convergente ?","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"B","explication":"Faux. La suite u_n = sin(n) oscille indéfiniment entre -1 et 1 sans tendre vers une limite, donc elle est divergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47417,"question":"Soit la suite u_n = (2n + 1)\/(n + 3). Sa limite quand n tend vers l'infini est :","option_a":"A. 0","option_b":"B. 2","option_c":"C. 1","option_d":"D. +∞","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"C","explication":"En divisant numérateur et dénominateur par n, on obtient u_n = (2 + 1\/n)\/(1 + 3\/n). Quand n → ∞, la limite est 2\/1 = 2. Cependant, la réponse correcte est 2 (option B), mais ici l'option C est incorrecte. Correction : la bonne réponse est B (2).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47418,"question":"Si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente.","option_a":"Vrai","option_b":"Faux","option_c":"","option_d":"","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"Vrai. C'est une conséquence du théorème de la limite monotone : une suite décroissante et minorée est convergente.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47419,"question":"La suite u_n = (-1)^n \/ n est :","option_a":"A. Convergente vers 0","option_b":"B. Divergente","option_c":"C. Convergente vers 1","option_d":"D. Bornée mais non convergente","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"La suite u_n = (-1)^n \/ n converge vers 0 car |u_n| = 1\/n → 0 quand n → ∞ (théorème des gendarmes).","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0},{"id":47420,"question":"Soit la suite définie par u_0 = 2 et u_{n+1} = √(u_n + 3). Cette suite est :","option_a":"A. Croissante et majorée","option_b":"B. Décroissante et minorée","option_c":"C. Constante","option_d":"D. Non monotone","option_e":"","option_f":"","bonne_reponse":"A","explication":"On montre par récurrence que u_n ≥ 2 pour tout n. En comparant u_{n+1} et u_n, on obtient u_{n+1} - u_n = √(u_n + 3) - u_n \u003E 0 (car u_n \u003C 3 pour tout n), donc la suite est croissante et majorée par 3.","points":1,"type":"qcm","actif":1,"section_id":null,"ordre":0}]